与えられた $2\times 2$ マトリックス $A$、2つの固有固有値が $A$ 対角化可能ですか？
この質問は私が取り組んでいるセミナーに関連しているので、質問全体を開示したくはありませんが、理論的にはこれがどのように扱われるかを尋ねるだけです。
$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $Q=(\lambda I - A) = \begin{bmatrix}\lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}$
次に、の固有値を見つけたい $A$、解決に応答します $\det(Q)=0$。私の質問は、2つの固有値を取得することを考えると、それは行列が保証されていることを意味しますか？$A$対角化可能ですか？私は、2つの異なる固有ベクトルがあるかどうかを示す定理を見つけただけです。$2\times 2$ マトリックス $A$、その後 $A$ 対角化可能です...
助けていただければ幸いです！
回答
あなたが持っている場合 $2$ 一意の固有値。これは、特性多項式が次のようになることを意味します。 $(λ-a)(λ-b)$、 どこ $a$ そして $b$あなたの固有値です。
これで、固有値のそれぞれについて代数的多重度が幾何学的多重度に等しい場合、行列は対角化可能になります。
私たちの場合、あなたは代数的多重度を持っています$1$ （固有値ごとに）したがって、それらの幾何学的多重度も次のようになります。 $1$ （（$0<\text{geometric multiplicity} \leq \text{algebraic multiplicity}$）したがって、行列は対角化可能です。
だから一般的に$n\times n$ あなたが持っているならマトリックス $n$ 固有の固有値、それは対角化可能です。
場合 $A$ は $n \times n$ 固有値が異なる行列、ゼロ以外のベクトルが存在する $V_i$、 $1 \le i \le n$、と
$AV_i = \mu_i V_i \tag 1$
インクルード $\mu_i$ の固有値である $A$。異なる固有値に関連付けられた固有ベクトルが線形独立であることはよく知られています。したがって、マトリックス
$S = [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] \tag 2$
は非特異であり、したがって可逆であるため、 $n \times n$ マトリックス $S^{-1}$ と
$S^{-1}S = SS^{-1} = I; \tag 3$
また、
$AS = [AV_1 \; AV_2 \; \ldots \; AV_n ] = [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n]; \tag 4$
したがって、
$S^{-1}AS = S^{-1} [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n] = [\mu_1 S^{-1} V_1 \; \mu_2 S^{-1} V_2 \; \ldots \; \mu_n S^{-1} V_n]; \tag 5$
現在、（2）および（3）と一致して、
$S^{-1}S = S^{-1} [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] = [S^{-1} V_1 \; S^{-1} V_2 \; \ldots \; S^{-1} V_n ] = I, \tag 6$
これは、それぞれが $S^{-1} V_i$ は列ベクトルであり、 $i$-番目のエントリは等しい $1$ 他のすべての要素と $0$; この観察結果を（5）に組み込むと、
$S^{-1}AS = \text{diag}(\mu_1, \; \mu_2, \; \ldots, \; \mu_n), \tag 7$
したがって、 $A$ によって対角化されます $S$。 $OE \Delta$。