与えられた4つの実数 $a,b,c,d$ そのため $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq 3$。証明してください $a^2+b^2+c^2+d^2\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd.$

Aug 24 2020

与えられた4つの実数 $a, b, c, d$ そのため $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq 3$。証明してください$$a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\leq ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd$$

私の解決策 $$3a- d\geq 0$$ $$\begin{align}\Rightarrow d\left ( a+ b+ c \right )- d^{2}= d\left ( a+ b+ c- d \right ) & = d\left ( 3a- d \right )+ d\left ( \left ( b- a \right )+ \left ( c- a \right ) \right )\\ & \geq b\left ( b- a \right )+ c\left ( c- a \right ) \\ & \geq \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \\ & \geq \frac{1}{2}\left ( \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \right )\\ & \geq \frac{1}{2}\left ( \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- b \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \right )\\ & = a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca \end{align}$$ あなたはどう ?

回答

1 MichaelRozenberg Aug 25 2020 at 01:18

それは間違っています。

試してみてください $$(a,b,c,d)=(1,1,1,4).$$ これらの値について、それを証明する必要があります $$19\leq15,$$ これはそれほど真実ではありません。

次の不等式はすでに当てはまります。

しましょう $\{a,b,c,d\}\subset[1,3].$ 証明してください: $$a^2+b^2+c^2+d^2\leq ab+ac+bc+ad+bd+cd.$$

この不等式は凸性によって証明できます。

確かに、 $f(a)=ab+ac+bc+ad+bd+cd-a^2-b^2-c^2-d^2$

したがって、 $f$ は凹関数であり、 $f$ の極値に対して最小値を取得します $a$

id est、for $a\in\{1,3\}$

同様に、 $b$$c$ そして $d$

したがって、不等式をチェックするだけで十分です。 $\{a,b,c,d\}\subset\{1,3\}$、これは私たちの不等式が真実であることを示しています。