与えられたiid確率変数 $\{X_n\}$有限の二次モーメントで。証明する $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

Aug 18 2020

与えられたiid確率変数 $\{X_n\}$有限の二次モーメントで。証明する方法$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

私はチェビシェフの不等式を試しました:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$しかし、有限の2次モーメントしかないため、機能しませんでした。チェビシェフの不等式よりも繊細な不等式はありますか?

回答

3 KaviRamaMurthy Aug 18 2020 at 09:09

$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ どこ $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$。その事実を使用してください$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ イベント以来 $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ 空集合に減少し、 $E|X_1|^{2} <\infty$

1 Soumik Aug 18 2020 at 09:17

私はあなたの答えが続く次の補題を証明します。

しましょう $X$ 次のような非負の実数値確率変数である $\mathbb E(X)<\infty$。次に$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ 証明: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$

以来 $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ なので $n\uparrow \infty$ そして、すべての確率変数は、私たちが持っている単調収束定理によって、非負です。 $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$したがって、次のようになります $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ 以来 $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$、 我々が得る $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$サンドイッチ定理を使用して結論を​​出します。最後にあなたの問題で見てください$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$