Aut（G）→Out（G）は、コンパクトで接続されたリー群Gに対して常に分割されますか？
位相群の外側の自己同型群 $G$ 短い完全系列によって構築されます $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$このシーケンスは常に分割されるわけではありません。分割されないAut（G）を参照してください。$\to$Out（G）？、たとえば離散群の場合$G = A_6$。
私はその場合に興味があります $G$コンパクトで接続されたリー群です。この場合、シーケンスは常に分割されますか？（もし$G$ 単純なリー代数を持っています $\mathfrak{g}$答えはイエスだと思います。）
回答
はい、 $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$常に分割します。証明はあなたの質問に対する私の答えと同じです（必ずしも接続されているとは限りません）コンパクトリー群の分類：考慮$\operatorname{Aut}(G)$ の拡張として $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ 個別のグループによる $\operatorname{Out}(G)$、およびリフト $\operatorname{Out}(G)$ に $\operatorname{Aut}(G)$その答えの意味でのピン留めを維持する自己同型として。（これらはしばしば「図の自己同型」と呼ばれます。）他の質問では、単位元成分が中心がないと仮定しなかったため、リー群内の成分群の正直なセクションを取得できませんでしたが、随伴群が$\operatorname{Inn}(G)$ センターレスです、ここではすべてが大丈夫です。