場合 $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$、高さ付き $AD$ および中央値 $AK$。証明する $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$
場合 $\triangle ABC$ 三角形であり、 $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$、高さ付き $AD$ および中央値 $AK$; 仮定$D$ は間に $B$ そして $K$。
- 証明してください $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$。
- 次に、それを証明します $\angle BCA= \frac\pi 8$ もし $|AD|=|DK|$。
- 結論 $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$
私はすでに引き分けを達成しましたが、どうやって始めればいいのかよくわかりません。
そんなこと知ってる $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$
回答
の外接円を考えてみましょう $\triangle ABC$。以来$\angle A=\frac{\pi}{2}$、それは直径の範囲内であり、したがって $K$ 外接円であり、 $$KA=KB=KC\tag{1}$$
- 以来 $\triangle KCA$ 二等辺三角形です、 $\angle KCA=\angle KAC$。
に$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$、したがって $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$、 だが $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$、したがって $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$、QED。 - に $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$、したがって $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$。
以来$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ そして $\angle KAC=\angle KCA$、したがって $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$、QED。 - に $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ そして $AK=KC=AD\sqrt{2}$ したがって、 $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ の他の機能 $\frac{\pi}{8}$ を使用して行われます $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
しましょう $D$ 間に配置されます $K$ そして $B$。
したがって、 $AK$ 中央値です、私たちは得ます $$AK=CK=KB,$$ これは $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$
あなたがそれを理解したので $\triangle DBA \sim \triangle DAC$、類似した三角形の対応する角度が等しいというプロパティを使用します。また、注意してください$AK=KC$、したがって $\triangle KAC$ 二等辺三角形です。
場合 $AD=DK$、 我々は持っています $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$。したがって、$\triangle KAC$ 二等辺三角形であるため、 $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$。
我々は持っています $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$。に$\triangle ADC$、 $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$