場合 $f$ 秩序の極を持っています $m$ で $z_0$、その後 $\frac{1}{f}$ で可除特異点を持っています $z_0$。

Question

私の教科書には

• 場合 $f$ 秩序の極を持っています $m$ で $z_0$、その後 $\frac{1}{f}$ で可除特異点を持っています $z_0$、および定義する場合 $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$、その後 $\frac{1}{f}$ 次数がゼロ $m$ で $z_0$。

しかし、私はそれを考えています。 $f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$ どこ $g(z)$ 分析的でゼロ以外 $z_0$、 $\frac{1}{f}$、これは $\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$、確かに分析的です $z_0$ 順序がゼロです $m$ で $z_0$。それが分析的である場合$z_0$、その後 $z_0$ 特異点になることはできません。

なぜ私の教科書は言うのですか $z_0$ 可除特異点であり、定義します $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$？

Answer 1

あなたの機能 $\frac{1}{f}$ の近隣でのみ定義されます $z_0$ 除外する $z_0$だからあなたは本当にそれを定義しなければなりません。実際には、$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$ しますか $\textbf{not}$ で意味をなす $z_0$。

Answer 2

私たちは注意します $z_0$ のドメインにありません $\frac{1}{f}$ 以来 $f(z)$で事前に定義されたものではありません$z_0$。この状況は、次のように定義することで解決できます。 $\frac{1}{f}(z_0)$ 継続性と一致する方法で、次のようになります。

定義する

$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$

なぜなら

$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$