場合 $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$、maxはどうですか{ $f$、 $g$}定義?

Aug 20 2020

私は現在、距離空間に関する教科書を読んでいて、それがどのように定義されているかどこにも見つからないように見える2つの関数について次の用語に出くわしました。

しましょう $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$maxはどうですか{$f$$g$}定義?同様に、min {はどうですか$f,g$}定義?

私は最大を考えています{$f$$g$}:これは単にの最大値を取ることを意味します $f$ そして $g$および最大{$f$$g$}はこれらすべての値で構成されます。同様に、の最小値を取るには$f$ そして $g$および最小{$f,g$}はこれらすべての値で構成されます。

これの動機は、私はそれが尋ねた問題に遭遇したことです:2つのメトリックが与えられた $d_1$ そして $d_2$ (にとって $(X_1,d_1)$ そして $(X_2,d_2)$それぞれ)は最大です{$d_1$$d_2$}上のメトリック $X_1 \times X_2$?ただし、この質問に答えるには、なじみのない用語を定義する必要があります。

回答

3 VictorHugo Aug 20 2020 at 20:53

固定ごとに $x$$\max\{f(x),g(x)\}$ 2つの実数の間の最大数です $f(x)$ そして $g(x)$。定義$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ それを証明することは可能です $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$

2 EricTowers Aug 20 2020 at 20:54

これは、関数演算の通常のパターンに従います。

  • $f+g$ 機能です $x \mapsto f(x) + g(x)$
  • $f-g$ 機能です $x \mapsto f(x) - g(x)$
  • $f\cdot g$ 機能です $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$
  • $f/g$ 機能です $x \mapsto f(x) / g(x)$
  • $\max\{f,g\}$ 機能です $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$

つまり、関数式はすべてのドメイン変数スロットを単一のドメインスロットにバインドします。

1 Cornman Aug 20 2020 at 20:55

それは予想通りに定義されています。あなたには機能があることを覚えておいてください$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

で両方の関数を評価するとき $x$実数を取得します。だからあなたは取ることができます$\max\{f(x),g(x)\}$、そして特別な定義は必要ありません。すべてが実数で行われるためです。最大値を定義したと確信しています。

また、それを覚えておいてください $\max(x,y)=\min(-x,-y)$、したがって、2番目の定義は必要ありません。

また、最大2つの実数は次のように定義されます。

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

1 user798202 Aug 20 2020 at 21:15

他の多くの答えが示すように、 $\max\{f,g\}$ポイントごとに定義されます。

あなたをやる気にさせる問題については、この質問で答えを見つけてください:最大2つのメトリックがメトリックです

АлександрПальма Aug 20 2020 at 20:56

与えられた2つの機能 $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$、最大値を定義できます $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ 沿って $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$そしてそれらの最小値 $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ 沿って $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$