場合 $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ といった $f(n)=(n,n+1)$ それは全射および/または単射ですか？

Question

場合 $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ といった $f(n)=(n,n+1)$ それは全射および/または単射ですか？

私はそれが全射であることを知っています $\Leftrightarrow \forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N \exists c \in \mathbb N:f(c)=f(a,b)$

明らかに単射です。 $(n,n+1)=(m,m+1) \rightarrow n=m$

全射ではないことがわかりますが、それを証明する方法がわかりません。助けを得ることができますか？

Answer 1

検討する $(1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$。矛盾が存在するとします$n\in\mathbb{N}$ と $f(n)=(n,n+1)=(1,1)$。次に、最初のエントリを読むと、$n=1$。2番目のエントリを読むと、$n+1=1\implies n=0$。明らかに私たちは持つことができません$n=1$ そして $n=0$同時に。矛盾。したがって、$f$ 全射ではありません。