場合 $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ 直線上で連続し、 $f(\text{compact})= \text{compact}$、その後 $f$ 継続的ですか？

Question

しましょう $f:\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ そのような地図である

1. $f$ すべてのセグメントにわたって連続している（つまり、すべてのセグメントに対して） $a,b$ $\in$ $\mathbb{R}^2$、 $t$ $\mapsto$ $f(at+b)$ 連続）、および

2. 場合 $K$ $\subset$ $\mathbb{R}^2$ コンパクトで、そのイメージ $f(K)$ コンパクトです。

次に $f$ 継続的です。

これを証明しようとしましたが、できませんでした。ヒントを教えていただけますか？

Answer 1

ヒント：修正 $x\in\mathbb R^2$ そして $\varepsilon>0$。すべての光線に対して$\ell_\varphi=\{x+(t\cos \varphi, t\sin\varphi) \colon t\in[0,\infty)\}$ しましょう $g(\varphi)=\inf\{t \colon |f(x)-f((t\cos \varphi, t\sin\varphi))|>\varepsilon\}$。存在しないと仮定します$\delta>0$ と $d(x,y)<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$。シーケンスを選択してください$\varphi_n$ そのような $\lim_{n\to\infty} g(\varphi_n)=0$。すべてのために$n$ 選択 $t_n$ そのような $g(\varphi_n)<t_n<g(\varphi_n)+\frac 1n$ そして $|f(x)-f(x_n)|<\varepsilon+\frac 1n$ どこ $x_n=x+(t_n\cos\varphi_n,t_n\sin\varphi_n)$（これは最初の条件で実行できます）。次に、セットを検討します$K=\{x\} \cup \{x_n \colon n=1,2,\ldots\}$ そして、2番目の条件との矛盾を取得します。

Answer 2

はい。そうでなければ仮定します。WLOG、$f(0)=0$ 不連続であり、 $x_n\to 0$ そのような $f(x_n)$ゼロに収束しません。場合$f(x_n)$ 無制限の場合、コンパクトセットのイメージ $\{0\}\cup \{x_n\}$コンパクトではありません。そう$f(x_n)$有界です。サブシーケンスを選択します$x_n'$ そのような $f(x_n')$ に収束します $c\neq 0$。場合$c\neq f(x_n')$ それぞれについて $n$、完了しました。 $\{0\}\cup \{x_n'\}$ コンパクトで画像はそうではありません。

今それぞれのために $n$ どこ $c=f(x_n')$、ライン上の連続性を使用します $\{tx_n'\,| t\in R\}$ 番号を見つける $x_n'' = t_n x_n'$ いくつかのための $0< t_n < 1$ そのため $f(x_n'')=c(1 - \frac{1}{n})$。場合$f(x_n')\neq c$、 出発するよ $x_n'':=x_n'$。それで$f(x_n'')$ まだ収束します $c$、 $x_n''$ まだ収束します $0$、しかしのイメージ $\{0\}\cup \{x_n''\}$ コンパクトではありません。