場合 $g\circ f$ 全単射です $f$ そして $g$ 全単射でもあります。

Question

ステートメント

しましょう $f:X\rightarrow Y$ そして $g:Y\rightarrow Z$関数。場合$(g\circ f)$ 全単射です $f$ そして $g$ 全単射でもあります。

だからもし $(g\circ f)$ は全単射であり、それは全単射と全射でもあります。

だからもし $(f\circ g)$ 注射である場合、機能が存在します $h:Z\rightarrow X$ そのような $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)=\text{Id}_X$ そのため $f$ 注射です。

その後、 $(f\circ g)$ それなら全射です $\text{AC}$ 機能があります $k:Z\rightarrow X$ そのような $g\circ (f\circ k)=(g\circ f)\circ k=\text{Id}_Z$ そのため $g$ 全射です。

残念ながら今は理解できません $f$ 全射であり、 $g$注射です。誰かが私を助けてくれませんか？

Answer 1

場合 $f,g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ そのようなすべてのために $n\ge 1$ $f(n)=n+1$ そしてすべてのために $n\ge 1$ $g(n)=n-1$ もし $n>1$ そして $g(1)=1$ その後 $f\circ g=\mathrm{identity}$ （（$f$ 最初に行動する）しかし $f,g$ そして $g\circ f$ 全単射ではありません。