場合 $M$ ZFC同型の標準クラスモデルです $V$、そして $M = V$?

Aug 19 2020

次のステートメントを検討してください。(T) "If $M$ ZFC同型の標準クラスモデルです $V$、その後 $M = V$。 "ステートメント(T)は次と同等です:"標準クラスモデルの推移的な崩壊の場合 $M$ ZFCのはに等しい $V$、その後 $M = V$。」これは、クラスの推移的な崩壊が原因です。 $M$ は、要素ごとに同型である一意の推移クラスです。 $M$

ここで、ZFCの標準クラスモデルとは、要素関係が実際の要素関係であるZFCのクラスモデルを意味します。

ZFCが一貫していると仮定します。ZFCは(T)を証明しますか?ZFCは(T)を反証しますか?両方に当てはまらない場合、いくつかの大きな基数公理を追加したZFCは反証しますか(T)?

回答

6 EricWofsey Aug 19 2020 at 20:50

いいえ。定義します $F:V\to V$ 沿って $\in$-再帰として $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$。明らかに$F(x)$ すべての人にとって空ではありません $x$。また、$F$ 単射である:if $F(x)=F(x')$、その後の帰納法によって $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ 私たちは仮定するかもしれません $F$ 単射です $x\cup x'$。以来$F(x)=F(x')$ 私たちは持っている必要があります $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$、 しかしそれ以来 $F$ 単射です $x\cup x'$ これは意味します $x$ そして $x'$ 同じ要素を持っているので $x=x'$。また明らかに$y\in x$ 意味する $F(y)\in F(x)$、およびその逆は、の単射から続きます $F$

まとめると、これは $F$ からの同型です $(V,\in)$$(M,\in)$ どこ $M$ の画像です $F$。だが$M\neq V$、以来 $\emptyset\not\in M$