場合 $r>0$ そして $r\notin \mathbb{N}$、評価する簡単な方法はありますか $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$

Question

しましょう $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$。経験的に、私は次の関係に気づきました。$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$特に、 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$。次の場合に注意してください$r$ は整数であり、有限和は明確に定義されていませんが、 $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$したがって、この意味で、合計は「キャンセル」されます。Mathematicaは閉じた形を返します$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$いつ $r\in\mathbb{N}$この質問に還元されますが、私はそれを自分で導き出す方法がわかりません。たぶん私はそこでの答えを完全には理解していませんが、合計が望遠鏡でない場合、同じトリックが当てはまるとは思いません。要約すると、私の質問は次のとおりです。

1. 誰かが閉じた形を説明できますか？
2. 有限和が無限和の負であるという単純で概念的な理由はありますか？

Answer 1

これがからの合計の計算です $n=0$ に $\infty$、これは有限和を計算する方法につながる可能性があります。以来$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ どこ $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$、 我々は持っています $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ 特に、 $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ だから、私たちは評価したい $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ 検討する $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ 我々は持っています $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ また、 $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ だから私たちはアイデンティティを持っています $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ いつでも $r>1$。