場合 $X = \{ |p(z)|<c\}$、の境界が $X$ です $\{ |p(z)| = c\}$ およびの各コンポーネント $X$ のゼロが含まれています $p$。
私は自分が勉強していない研究所の複雑な分析で問題を試していますが、この特定の問題にぶつかりました。
しましょう $p$ 非定数多項式であり、 $c>0$ そして $X=\{z:p(z)<c\}$。証明してください$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ また、の各連結成分 $X$ ゼロが含まれています $p$。
試行：しましょう $C$ の連結成分である $X$。次に$\partial C$ のサブセットです $\partial X$ など $|p(z)| \leq c$。しかし、私はこれ以外の議論を考えることはできません。
ですから、この問題にどのように取り組むべきかについて、親切に光を当ててください。
回答
の単純なプロパティ $p$：
i）以来 $p$ は非定数多項式であり、 $p$すべての複雑な値を取ります。したがって、セット$X=\{|p|<c\}$ そして $\{|p|=c\}$ 空ではありません。
ii）セット $X$ の継続性によって開かれています $|p|.$
iii） $|p(z)|\to \infty$ なので $|z|\to\infty.$
iii）から次のようになります $X$有界です。そうでなければ$X$ シーケンスが含まれます $z_n$ そのような $|z_n|\to \infty,$ したがって、 $|p(z_n)|\to \infty,$ の定義に違反している $X.$
しましょう $z\in \partial X.$ 次に $z$ の数列の極限です $X.$ これは、 $|p(z)|\le c.$ たぶん......だろう $|p(z)|<c$起こりますか？いいえ、それでは$z\in X$そしてそれは境界点になることはできませんでした。その結果$\partial X\subset \{|p|=c\}.$
今、仮定します $|p(z)|=c.$ しましょう $r>0.$ 次に $p(D(z,r))$ は開写像定理によって開かれているため、 $c$ およびモジュラスのポイントがより大きい $c.$ したがって、 $D(z,r)\cap X$ そして $D(z,r)\cap X^c$どちらも空ではありません。以来$r$ 恣意的だった、 $z\in \partial X.$ これは最後の段落で証明します $\partial X = \{|p|=c\}.$
最大絶対値の定理を思い出してください。 $U$有界オープン接続セットです。しましょう$f$ 継続する $\overline U$ と正則 $U.$ 最大の場合 $|f|$ で発生します $U,$ その後 $f$ は一定です。
だから今しましょう $C$ の連結成分である $X.$ 私たちは知っています $\partial C \subset \partial X,$ これは $|p|=c$ オン $\partial C.$ そしてもちろん $|p|<c$ に $C.$
仮定する $C$ のゼロが含まれていません $p.$ 次に $p$ がゼロ以外 $\overline C,$コンパクトなセットです。したがって、$|p|$ いくつかので正の最小値を達成します $z_0 \in \overline C.$ MMTによって、 $z_0\in C.$ しかし、注意してください $1/p$MMTの仮説を満たします。したがって、MMTを再度使用すると、
$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$
以来 $|p(z_0|<c,$ 矛盾があり、完了です。