微分（偏導関数ではない）を使用して、d𝜃 / dx = -sin（𝜃）/ r [重複]であることを証明します。
添付画像の逆行列の各成分の部分を証明しようとしています。微分を使って、他の成分を解いてみました。（私はそれをこのように解決したいと思います）。たとえば、解決しようとすると、$\frac{d\theta}{dx}$ （逆行列の左下[下に添付]） $$x = r cos(\theta)$$ –> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$次に、私たちが保持していることを観察します $r = constant$、したがって $dr = 0$。わかった$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$、近いです。これを部分電卓に入れて作りました$\theta$ xとrの関数、 $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$。取って$\frac{\partial \theta}{\partial x}$rはxとyの関数であるため、正しい答えが得られます。私が使用する場合$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ 部分的に私が上で述べたものを手に入れます（$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$）。また、私はdrを置き換えようとしました$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ を使用して $r^2=x^2+y^2$ drをに置き換えることによって $rdr = xdx + ydy$ここで、dyは一定であると仮定しました。それは私に間違った答えをもたらしました。論理的思考を改善したいので、私がしたことについてのアドバイスも素晴らしいでしょう。ありがとうございました！
概要：（部分ではなく）微分を使用して証明しようとしています $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
回答
問題はあなたがただ書くことができないということです $\frac{d\theta}{dx}$。熱力学には、本当に便利で重要な表記法があります。彼らは、どの変数が固定されたままであるかを示すために、下付き文字で偏導関数を書きます。だから、例えば、$z=f(x,y)$ の導関数を見つけたい $f$ に関して $x$、修正 $y$、 私達は書く $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ たくさんの変数が飛び交う可能性があり、どの変数が修正されているかを知ることが重要であるため、これは重要です。
あなたの例では、私たちは考えることができます $(x,y)$ の機能として $(r,\theta)$。それから私達が書くなら$\partial x/\partial\theta$、これは通常、 $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$。修正するとき$r$、それからそれは真実になります（私たちは本質的に一次元の計算をしているので） $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ しかし、あなたは代わりに計算しようとして物事を混乱させています $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$、そしてこれらは2つのまったく異なる獣です。独立変数を追跡することに本当に注意する必要があります。それらを変更すると、より多くの連鎖律が入ります。
繰り返しになりますが、あなたは比較しようとしています \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
ちなみに、注意してください。一般的に、私たちは持っていません$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$。確かに、以来$x=r\cos\theta$、 我々は持っています $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ （これは $-y$）。一方、$\theta =\arctan(y/x)$ （少なくとも $-\pi/2<\theta<\pi/2$）、 我々は持っています $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$、とは大きく異なります $-y$。これはあなたの$-\sin\theta/r$、 もちろん。正しい関係は、逆である完全な微分行列（ヤコビ行列と呼ばれる）から得られます$2\times 2$ 行列。
これはすべて微分（実際には微分形式）で正しく行うことができますが、それでも独立変数が誰であるかを追跡する必要があります。そして、あなたは本当に次のようなことを書くのをやめなければなりません$d\theta/dx$ そうでなければ $\theta$本当に1つの変数だけの関数です$x$。最初の数式を取得するには、次のように書く必要があります$d\theta$ ただの観点から $dx$ そして $dr$; あなたが書かなければならない秒を得るために$d\theta$ 通常の観点から $dx$ そして $dy$。これは、独立変数何の問題だけだsがあります。