微分幾何学の有用性
私は最近これらの本に出くわしました：
- 微分幾何学とリー群：計算の視点
- 微分幾何学とリー群：2番目のコース
私はトポロジー/ジオメトリ/分析を本当に楽しんでいるので、彼らの主題は本当に興味をそそられますが、私も非常に具体的なアプリケーションのある分野で働きたいので、それらを追求する予定はありませんでした。しかし、私は懐疑的です。ある時点で、トポロジカルデータ分析（TDA）は私の興味の完璧な融合だと思っていましたが、その分野が実際にコンピュータサイエンスで使用されているという証拠はほとんどなく、産業やその他の「実用的な」設定ではほとんど見つかりませんでした。 TDAは数学者にデータサイエンスの世界との関連性を高めているように見えますが、そうなるとは確信していません（この点で私が間違っていると思われる場合は、遠慮なく矛盾してください。ただし、具体的なものが必要です。ユースケースであり、その関連性についての抽象的な議論ではありません）。符号理論、集合論の特定の側面などについても同様の話があります。それらは理論的には関連性があるかもしれませんが、ソフトウェアを開発する過程で、これらの分野に相談する必要があるかもしれない状況はありますか？何も知りません。
さて、私の質問です。微分幾何学を高度に利用するコンピュータサイエンスの実用的な分野はありますか？医用画像、その他の画像、コンピュータグラフィックス、バーチャルリアリティ、およびその他のいくつかの分野が、潜在的なアプリケーション分野として思い浮かびます。しかし、私の（確かに限られた）経験では、これらの領域は基本的な3Dジオメトリ、数値線形代数、そして時には偏微分方程式の数値解析を使用しているようです。これらはすべて非常に素晴らしいトピックですが、微分幾何学ほど抽象的なものは必要ありません。
前もって感謝します。
回答
私は主に、次の適用されたサブフィールドでコンピュータサイエンスに適用された微分幾何学を見ます。
- コンピュータグラフィックス/幾何学処理
- 機械学習/信号処理
コンピュータグラフィックス/ジオメトリ処理については、以下を探すことをお勧めします。
- キーナンクレーンによる離散微分幾何学コース
- CSプレイリストの離散微分幾何学
- 離散微分幾何学論文の編集
機械学習/信号処理については、以下を探すことをお勧めします。
- 多様体学習
- 情報幾何学
- 非線形信号処理
- 幾何学的ディープラーニング
また、数学交換でこの答えを確認してください。この会議の微分幾何学はディープラーニングと出会います
ところで、FunctionalDifferentialGeometryは素晴らしい本です。
あなたが見つけた場合は、コンピュータプログラムの構造と解釈興味深いを、あなたが好むかもしれない機能の微分幾何学を（それは同じ著者からです）。
微分幾何学は一見単純です。不明瞭で非公式な記号操作で正しい答えを得るのは驚くほど簡単です。この問題に対処するために、コンピュータープログラムを使用して、微分幾何学の計算の正確な理解を伝えます。微分幾何学の方法をコンピューター言語で表現することは、それらを明確にし、計算上効果的にすることを強制します。メソッドをコンピューター実行可能プログラムとして作成し、そのプログラムをデバッグするタスクは、学習プロセスにおける強力な演習です。また、手続き的に形式化されると、数学的なアイデアは、結果を計算するために直接使用できるツールになります。
サスマン、知恵から取られた：機能的微分幾何学
今日では、「差動」という名前のすべてのフィールドが、何らかの形でニューラルネットワークに適用されています。たとえば微分幾何学の場合、コンピュータグラフィックスでの微分レンダリングについて考えることができます。
現在、私は張らによる論文「放射伝達の微分理論」を扱っています。