微分作用素の対数の行列は何ですか（ $\ln D$）？さまざまな数学分野でのこの演算子の役割は何ですか？

Feb 01 2021

BabusciとDattoli、微分演算子の対数について、arXiv：1105.5978は、いくつかの素晴らしい結果をもたらします。\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} その行列は何ですか、そうでなければ、それを関数に適用する方法はありますか？

数学のさまざまな分野での直感的な役割は何ですか？

回答

4 CarloBeenakker Feb 01 2021 at 14:23

フーリエ変換時 $x\mapsto k$、これは行列要素を持つ対角演算子になります $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$。したがって、で行列要素を見つけるには$x$-対数のフーリエ変換を反転する必要がある表現 $\ln k$。のフーリエ変換に対するこのMSEの答えから$\ln |k|$ （絶対値の符号付き）私はそれを結論付けます $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

この表記は、 $\ln D$ 機能に作用する $f(x)$ 新しい関数を生成します $g(x)$ によって与えられた $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

3 TomCopeland Feb 10 2021 at 04:54

の解釈 $\ln(D)$ 通常の微分演算子とその正の整数の累乗を分数積分微分演算子（FID）に選択する補間、つまり次の解釈に依存します。 $D$実数（または解析接続による複素数）によって指数化されます。これは、FIDが作用する関数に依存します。以下で説明する拡張は、B＆Dの3つのアイデンティティを生成し、Pincherleが正当なFIDファミリに課した特性と一致します（1/2導関数に関するこのMO-Qおよび分数階微積分に関するこのMO-Qを参照）。これは、複素変数の関数全体の「基底関数系」に対するアクションによって定義できます。$\omega$ なので

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

どこ $H(x)$ はヘヴィサイドの階段関数であり、 $\alpha$ そして $\omega$ 一般化された関数との分布の理論で通常の識別を持つ任意の複素数である可能性があります

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

と $n=0,1,2,3,...$。

これは、実数直線上のフーリエ変換またはそれに関連する疑似差分演算/記号とはほとんど関係がないことに注意してください。特に、$D^{\alpha}$ ここでは、による乗算とは関係ありません $(i 2 \pi f)^{\alpha}$周波数空間で。他の場所では、このFIDのさまざまな同等の畳み込み表現を1）正規化されたコーシー複素周回積分の変換による円上のFT、2）オイラーベータ関数の積分表現の解析接続として示しています。実線セグメントに沿った積分の複素平面、またはハダマード有限部分またはポッホハマー輪郭を介した正規化、3）生成関数のアクションを介した標準微分演算子のメリン補間$e^{tD_x}$、ラマヌジャンのマスター式の演算子アプリケーション、または4）一般化された二項係数のsinc関数/カーディナルシリーズ補間。

上記のFIDの定義がどれほど実行可能かを見てみましょう。FIDの微小生成元（infinigen）および3つのB＆Dアイデンティティへの接続。Appell Sheffer多項式列の形式化、したがって対称多項式/関数理論との関連。インフィニゲンとFIDのマトリックス担当者。

無限小生成作用素を仮定すると $IG$ そのような存在

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

その後、正式に

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

そして無限大は

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

どこ $\psi(x)$ はディガンマ関数であり、複素平面上で有理型関数として定義でき、リーマンゼータ関数の値と密接に関連しています。 $s = 2,3,4,...$。

一部の担当者（B＆Dと同じIDを与える）は

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

どこ $\lambda$ オイラー-マシェロニ定数に関連している $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$。

上記の担当者に到達する他の担当者およびその他の方法は、以下の参照に記載されています。

Appell Sheffer多項式列の形式化による方法を見てみましょう。これは、無限大の明示的な差分式のべき乗時に収束の問題を解決し、対称多項式/関数の理論への接続を可能にします。

関連するAppellの多項式列 $p_n(z) = (p.(z))^n$ 複素変数全体に指数母関数があります $t$つまり、テイラー級数がグローバルに収束しているため、

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

4つの一貫した方法で定義された相反多項式列を使用 $\hat{p}(z)$

1） $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $、egf、

2） $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $、単項式のべき乗に基づく2つのシーケンスの下三角係数行列の観点から $z^n$ ユニット対角で、

3） $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$、畳み込み畳み込み反転、

4） $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$、運用ジェネレータ。

したがって、アペル多項式の上昇演算 $p_n(z)$ によって定義されます

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

によって与えられます

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

昇降演算子の演算子共役、または「ゲージ変換」 $z$ パワー単項式用。

また、オペレーター整流子付き $[A,B] = AB - BA$、

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

ここで、Pincherleと、Rotaが有限演算子計算のために宣伝した同名の演算子派生物を再入力します。グレーブス-パンシェルル微分グレーブス・リー・ハイゼンベルグ-ワイル整流子由来その電力$[D_z,z] = 1$ そこから、通常の並べ替えにより、のべき級数として表される関数を意味します。 $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

これは、アクションに続くパンシェルル微分（PD）のアバターです。 $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

ただし、PDは、以下を満足するより一般的な下降および上昇（はしご）操作に有効です。 $[L,R]= 1$。

その後、

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

代用あり $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

レイズオペレーションは次のように定義されます

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

の関数全体 $t$繁雑; したがって、

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

そう

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

確かにそれを特定することができます

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

そして

$$IG = \ln(D_x).$$

次に、PDをに適用します $\ln(D)$、形式主義のチェックおよびマトリックス担当者への道として、正式に与える

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

これは、一般的な機能について整流子を評価することによって明確な意味を与えられます $g(x)$ の積分repを使用して、原点で分析します（これは「基底関数系」に一般化されます）。 $R_x = -\ln(D_x)$、与える

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

だから、私たちは持っています

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

そして

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

意味する

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

また、

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

その後

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

どこ

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

有限差分opシリーズは導関数に埋め込まれています $D_{\alpha =0}$ニュートン補間

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

にとって $\alpha = -m$ と $m = 1,2,...$ そして $\omega = 0$、このニュートン補間器は

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

これは、分布の意味で、のラゲールの多項式決議と一致します。 $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$このMO-Qの公式では、$c_n = f_n$ そこの表記では、

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

と

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

だから、 $m$-ヘヴィサイド関数の3次導関数、

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

したがって、のLaguerreシリーズ解像度の係数 $m$-ヘヴィサイド関数の3次導関数は

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

ニュートン補間器と一致します。

申請中 $D_x^{-1}$ このアイデンティティの両側に繰り返し、収束補間を確立します。 $\omega = 1,2,3,...$、およびの二項式展開内で電力ベースで動作する $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ 収束式も与える必要があります。

同様に $\omega=0$、ラプラス変換（より正確には、FIDを標準導関数のメリン補間としてキャストできるラマヌジャンのマスター式の中心となる修正メリン変換）があります。

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

にとって $Re(\alpha) > -1$、与える

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

このラプラス変換、したがってニュートン補間器は、いくつかの標準的な方法で解析接続できます（たとえば、実数直線からハンケルの積分路を介した複素平面へのブローアップ、アダマール有限部分）。$\alpha$。負の整数の指数の場合、ハンケルの積分路は、微分のために通常のコーシーの輪郭表現に縮小します。アダマール有限部分アプローチにより、ニュートン補間器をストリップごとに適切に修正して、意図した結果を得ることができます。

の有限差分担当者に戻る $\ln(D_x)$、1に対する無限大のアクションは、次のようになります。 $x > 0$、

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

どこ $L_n(x)$ はラゲールの多項式であり、問題のB＆Dの最初の方程式と一致しています。

で切り捨てられた演算子系列の評価結果のプロット $n=80$、またはそう、行動する $x^2$ そして $x^3$ 分析結果にも一致します。

マトリックス担当者 $M$ この統合操作のアクションの $D_x^{-1}$ オン $x^n$ 累乗ベースで十分に単純です-要素を使用した、左または右の行列乗算に応じて、最初のサブ対角線または超対角線を除くすべてゼロの行列 $(1,1/2,1/3,...)$。

のマトリックス担当者 $R_x$ その後です

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

べき乗、

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

関連するマトリックス担当者は

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

（MathCadディスクが別の状態で保存されているため、通常のようにこれらのマトリックス計算を数値で確認していません。）

の非整数の力に基づいて行動する $x$、二項式展開のように、整数の累乗の重ね合わせとしてそれらを表す必要があります

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

または、に戻ります $z$ 担当者とレイズオペレーションのマトリックス担当者を書き留めます $R_z$。これは、すべてのものの最初の超対角線で拡張された無限下三角パスカル行列の単純な変換です。OEIS A039683には、多項式列への別のアプローチ（Riordan？）の生成行列としても知られる、単項式の累乗基底での上昇opに相当する行列の例があります。この場合、分割電力ベースに切り替える方が良いです$z^n/n!$。次に、拡張されたパスカル行列は、すべてのものの単純な合計行列になります。n番目の対角線に沿って乗算します$c_n$ どこ $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ 発生するopの行列repを生成しますが、たとえば、 $x^2=e^{2z}$、これは、有限差分表現と比較して、すぐに適用する厄介なアルゴリズムになります。

その他の参考資料（網羅的ではありません）：