Borsuk問題の一般化：直径1の平面セットをに切断することでどれだけ縮小できるか $k$ ピース？
Borsukの問題は、有界集合が$\mathbb{R}^n$ に分割することができます $n+1$厳密に小さい直径のセット。本当のとき$n=1,2,3$、次元で失敗します $64$以上; 私は他のすべてを信じています$n$ この記事の執筆時点でオープンしています。
しかし、少なくとも $n=2$「厳密に小さい直径」よりも正確な場合。元のセットの直径が1の場合、各ピースの直径が最大であることが保証されます。$\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$、直径の円によって達成される境界 $1$。これが成り立つことを確認するために、幅の正六角形に注意してください$1$ルベーグの普遍的な被覆問題の解決策であり、直径の3つのセットに分割できます$\frac{\sqrt{3}}2$同様に：
上記と同じアプローチを使用して（下限のある特定のセットを見つけ、直径1のセットのユニバーサルカバーを解剖する）、上限のいくつかの境界があります $k$ 同様に、しかし $k=3,4,7$ それらは正確ですか：
（このテーブルを超えて拡張する $k=7$ サークルの最適な解剖を行うことははるかに複雑になるため、困難になります。）
編集：でスポークを取ることによって$72^\circ$ 正六角形の角度（1本のスポークが辺の中点で六角形と交わる）、私は周りの少し良い上限を得ることができると思います $0.6434$ 場合のために $k=5$。スポークの配置をさらに最適化すると（スポークの端点間の距離が等しくなるように）、周りに移動できます$0.6223$。
限界では、各ピースの直径は漸近線であると思います $\sqrt{\frac{2\pi}{3\sqrt{3}k}}\approx \frac{1.1}{\sqrt{k}}$通常の六角形でタイリングします。確かに人はそれ以上のことはできません$1/\sqrt{k}$等直径の不等式を使用して円を分割する場合（ピースがこれよりも小さければ、面積が小さすぎます）。正方形の自明な解剖を使用して、1つはまたの上限を持っています$\frac{\sqrt{2}}{\lceil\sqrt{k}\rceil}$。
この問題について私が持っているいくつかの質問：
この質問は以前に文献で調査されたことがありますか？もしそうなら、何が知られていますか？
いずれかがあります $k$ サークルが解剖の最悪のシナリオを提示していないのはどれですか？
できますか $k=5,6$上限は大幅に改善されていますか？ユニバーサルカバーリングの問題に対してPalのわずかに小さいソリューションを使用すると、次の場合にいくつかの調整が可能になると思います。$k=6$、しかし詳細は解明されていません。
回答
単位直径の平面セットをに切断するときに確保できる最小直径はいくつですか $k$ ピース？
この問題は、1974年に[SCY]の問題102で検討されており、最小直径が示されています。 $\delta_2(k)$。残念ながら、あなたの質問ほど多くの限界はありません。の評価のための主なツール$\delta_2(k)$ 有る $\delta(k, A)$、平面セットを切断するときに確保できる最小直径 $A$ 単位直径の $k$ピース。以下のための特別な$S$ ケースはディスクです $D$、 四角 $S$、および正三角形 $T$。問題103およびp。の表。97（1967年の論文[Gra]を参照）境界$\delta(k, A)$ のために示されています $D$ ために $k\le 5$、 ために $T$ そして $k\le 10$、および $S$ そして $k\le 4$。[Gra]でも評価されます$\delta(k, T)$ ために $k\le 15$。私が男子生徒だったとき、1991年に計算された記事[KK]を読みました$\delta(2,S)=\tfrac {\sqrt{10}}4$、 $\delta(3,S)=\tfrac {\sqrt{130}}{16}=0.712\dots$、および $\delta(5,S)=\tfrac {5\sqrt{34}}{64}=0.455\dots$、上限が見つかりました $0.4200\dots$ オン $\delta(6, S)$、および $\delta(k, D)$ ために $k\ge 8$ そして $\delta(k,T)$ ために $k\ge 16$不明です。96ページと98ページには、このアプローチについてかなり悲観的な考えが書かれており、問題104には値が示されています。$\delta_2(2)$、 $\delta_2(3)$、 $\delta_2(4)$、および $\delta_2(7)$、あなたはすでに知っています。他の正確な値はないことに注意してください$\delta_2(k)$ いつ $k\ge 2$知られています。の値$\delta_2(3)$は、実際、1932年から1933年にBorsuk [Bor1、Bor2]によって発見されました（[Gal]も参照）。1956年、ドイツの幾何学者Lenz [Len1、Len2]は、$\delta_2(k)$ 小さいため $k$ と計算 $\delta_2(4)$、 $\delta_2(5)$ そして $\delta_2(7)$。の値$\delta_2(4)$Selfridge [Sel]によっても発見されました。[Gru]では、$G_{11}$ 定期的です $11$-直径のゴン $1$ その後 $\delta_2(6)\ge \delta(6, G_{11})=\frac 1{2\cos (\pi/22)}=0.505141\dots$。
残念ながら、私はドイツ語を話せませんが、[Len1]のp。34は境界が提供されます$\delta_2(k)\le\tfrac {\sqrt{2}}{\lfloor \sqrt{k}\rfloor}$ ために $k\ge 2$ そして $\delta_2(k)<\tfrac 1{k-8\pi/\sqrt{27}}\left\lfloor\tfrac {4\pi}{\sqrt{27}}+\sqrt{\tfrac{2\pi k}{\sqrt{27}} }\right\rfloor$ ために $k\ge 5$、およびp。36バウンド$\delta_2(k)\le\tfrac 1{k-1}\left(\tfrac {2}{\sqrt{3}}+\sqrt{\tfrac 43+ \frac{2\pi}{\sqrt{27}}(k-1) }\right)$。後者の両方の境界は約$\sqrt{\frac{2\pi}{\sqrt{27}}}k^{-1/2}\approx 1.1 k^{-1/2}$。
しかし、これらの参照は古く、その時からある程度の進歩が見られる可能性があります。
我々が持っている必要があります $\delta_2(k)\approx \sqrt{\frac{2\pi}{\sqrt{27}}}k^{-1/2}$ 漸近的に、以下を参照してください。
下限。与えられた$k$、鳩の巣原理は $\delta_2(k)\ge d(k+1)/2$、 どこ $d(k+1)$ 間の最大可能最小距離である $k+1$単位円板のポイントについては、このスレッドを参照してください。このアプローチは漸近的な限界を提供するはずです$\delta_2(k)\ge\approx \sqrt{\tfrac {2\pi}{3\sqrt{3}k}}\approx 1.1 k^{-1/2}$。
上限。しましょう$C$ aは、単位直径のすべての平面セットの合同コピーを含む平面の（必ずしも凸ではない）サブセットであり、 $a$ のエリアになります $S$。の最もよく知られている境界$a$ に関して $0.8441$、彼らのための困難で恩知らずの探求についてのスレッドを参照してください。場合$C$ でカバーすることができます $k$ 側面のある六角形グリッドのセル $d$ その後 $\delta_2(k)\le 2d$。このアプローチは漸近的な限界を提供するはずです$\delta_2(k)\le\approx 2\sqrt{\tfrac {2a}{3\sqrt{3}k}}\approx 1.14 k^{-1/2}$。
しかし、レンツの限界は、[点灯]のp.11で、「（最大の）直径が以下の領域」と示されているため、ユニバーサルカバーセットを使用する必要がないことを示唆しています。 $1$ せいぜい $\tfrac{\pi}4$」。
この観察結果は、漸近的にタイトな上限を示しているはずです。
参考文献
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