部分分数でAとBを解くときに、同類項の係数を等しくすることはどういう意味ですか?

Dec 27 2020

私はケンブリッジの10年目の本で部分分数を解くことを通して自分自身を踏み出そうとしています。これは、自分自身に挑戦したい学生のために彼らが早くから導入している概念であり、説明がかなり軽いです。

例:7 /(x + 2)(2x-3)= A / 2x-3 + B / x +2。7 = x(A + 2B)+ 2A-3Bに達するまで、これを処理する方法を理解しています。そこから、「係数の等化」と呼ばれることを行う必要があることを読みました。同類項に近い係数は等しくなければならないので、次のシステムが得られます:A + 2B = 0 2A-3B = 7。

しかし、方程式のこれらの部分をこれらの値に設定することがなぜ、またはどのように有効であるのかがわかりません。たとえば、A + 2B = 7 2A-3B = 0ではないのはなぜですか。YouTubeを見て友達に聞いてみましたが、頭がおかしくないようです。

私はそれを行うことができ、この方法を使用してAとBを解くことができます。しかし、私はプロセスのその時点で何をしているのかを理解するのに本当に苦労しています。これを調べてみると、「同類項の係数を等しくすることができる」というフレーズが出てきます。たとえば、分数分解に関するウィキペディアのページには、「xの係数とこの方程式の両側の定数(xに関する)係数を等しくする...」と書かれています。2番目の例:方程式7 /(x + 2)(2x-3)を入力すると、emathhelpページで「同類項の近くの係数は等しくなるはずなので、次のシステムが得られます:」と表示されます。

回答

1 ChubbyChef Dec 27 2020 at 21:34

この問題の手順について少し混乱していると思います。両側に分母を掛けた後、結果の方程式を解く必要があることに注意してください。この場合は$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ 同類項は、の同一の累乗の係数です。$x$。それを観察する$7 = 0x + 7$。あなたは今類似性を見ることができますか?持っていました$(A+2B)$何でもなかった $0$、ゼロ以外の値があります $ax$上記の方程式の左辺の項。同じ論理が適用されます$(2A-3B)$

だから本当にあなたは $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ 同時に解決すると、 $A= 2$$B = -1$

YvesDaoust Dec 27 2020 at 21:25

あなたが一緒に働いていたと仮定します

$$ax+b=3x+2.$$

これはどんな人にも当てはまるという意味です $x$。特に、私たちは書くことができます

$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$

これは、2つの未知数と無限に多くの方程式のシステムです。しかし、最小数の方程式を解くと(最初の2つで、$a=3, b=2$)、シンボリック式は完全に同等であるため、解はすべての方程式に有効です。

同じことが有理分数やあらゆる種類の識別にも当てはまります。