部分空間の問題

Question

私はいくつかの資格のために勉強していました、そして私は去年この問題に遭遇したことを覚えています、そして私はそれでどこにも行くことができませんでした。今でも私はちょっと困惑しています。何かアイデアはないかと思いました。ここに問題があります：

しましょう $ V $ ベクトル空間になり、 $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $整数である。しましょう$ \{V_i\} $ のコレクションである $ n $-の次元部分空間 $ V $ そのプロパティで $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ すべてのための $ i\neq j $。次の少なくとも1つが成り立つことを示してください。

（i）すべて $ V_i $ 共通点を共有する $ (n-1) $-次元部分空間。

（ii）あります $ (n+1) $-の次元部分空間 $ V $ すべてを含む $ V_i $。

Answer 1

まず、以下を示しましょう。

どんな場合でも $i,j,k$、もし私たちが持っているなら $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ その後 $V_i\subseteq V_k+V_j$。

ご了承ください $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$、だからこれは共通の私たちのユニークな候補です $n+1$-次元の超空間。

さて、 $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$、ベクトルが存在することを知っています $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ これは線形独立です $V_j$。しかしそれ以来$V_i\cap V_j$ は $n-1$ の次元部分空間 $n$-次元空間 $V_i$、わかります $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

さて、私たちが議論しなければならないのは、 $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ いくつかのための $i_0$、その後、 $i$ そのような $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$、私たちはまだ持っている必要があります $V_i\subseteq V_k+V_j$。

これは以来続く $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$。さもないと、$V_{i_0}$ が含まれます $n-1$ 次元部分空間 $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ したがって、次元を数えると、 $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ したがって、前のものを適用すると、 $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

全体として、私たちは希望を確立しました。