部分多様体のプリイメージである部分多様体の向き付け可能性
私はMilnor＆Stacheff、特性類、第18章を読んでいます。滑らかな多様体の短いレビューがあり、次のステートメントがあります。
仮定します $f:M\to N$ は滑らかな多様体間の滑らかな地図であり、 $f$ 部分多様体を横切る $Y\subset N$ （そのため $f^{-1}(Y)$ の部分多様体です $M$）。場合$\nu^k$ の通常のバンドルです $Y$ に $N$、次にバンドルを誘導します $f^{-1}(Y)$ から $\nu^k$ 沿って $f$ の通常のバンドルで識別できます $f^{-1}(Y)$ に $M$。特に、$\nu^k$ は方向付けされたベクトル束であり、 $M$ 向き付けされた多様体であり、 $f^{-1}(Y)$ 向き付けされたマニホールドでもあります。
私はそれを見る（それを仮定して $M,N$ リーマン多様体）の法バンドル $f^{-1}(Y)$ 誘導されたバンドルで識別できます $f^*\nu^k$、しかし、最後のステートメントがどのように続くのかわかりません。基本定理か何かが欠けていますか？
回答
重要なのは、2つの方向付けされたバンドルの「違い」が方向付けられているということです。ベクトル空間のレベルでは、$W=V\oplus U$ その根拠は $b_V$ ポジティブ志向です（ $W$）ポジティブ志向の基礎と組み合わせた場合 $b_U$ にとって $U$ ポジティブ志向の基盤を得る $b_W=(b_V, b_U)$ にとって $W$ （基本的に、ブロックの対角行列の行列式は2つのブロックの行列式の積であるため、これが明確に定義されていることを確認できます）。
より洗練された言葉で、 $\Lambda^{\dim W} W \equiv \Lambda^{\dim V} V \otimes \Lambda^{\dim U} U $、そのため、任意の2つのベクトル空間の方向（外積代数の識別） $\mathbb{R}$）残りの方向を生成します。ベース内のすべてのポイントでこの同じ構造を繰り返すことにより、バンドルについても同じことが言えます。
あなたの場合 $W=TM$、 $U=f^*\nu^k$、および $V=T f^{-1}(Y)$。
警告が必要です：次のさまざまな要素を挿入できます $(-1)^{\dim X}$ または $(-1)^{\dim X+1}$上記の式に。下流で物事を「素敵」にする方法で「正しい」要素を選択することは、非常に簡単ではありません。だから誰もがそれに同意するでしょうが$f^{-1}(Y)$ 向き付け可能である場合、向きの実際の選択は異なる規則に従う場合があります。