分布の収束 $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Dec 14 2020

配布のシーケンスを定義する $u_n$

しましょう $u_n\to u$$D'(X)$ そして、私たちがseuqenceを持っていると仮定します $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ そのような $\varphi_n\to \varphi $$C_c^\infty(X)$

見せてもらえますか $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

私たちは見せることができることを知っています $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ のために $\phi\in C_c^\infty(X)$、そして $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ それぞれについて $n$。それらを一緒に組み合わせる方法は?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

しかし、正確に2つの同じ変数ではありませんか?

回答

3 m.s Dec 14 2020 at 17:23

私は $X$ のオープンサブセットです $\mathbb{R}^n$。コンパクトなサブセットの場合$K$$X$$C_K^{\infty}(X)$ すべてのフレシェ空間を示します $f \in C_c^{\infty}(X)$ そのような $\text{supp}(f) \subset K$

の厳密な帰納極限トポロジーにおける収束についての自明でない定理 $C_c^{\infty}(X)$ あるに違いないことを意味します $n_0 \geq1$ コンパクトなサブセット $K \subset X$ それぞれが $\varphi_n$$n \geq n_0$ そして $\varphi$ それ自体はに属します $C_{K}^{\infty}(X)$ そしてそれ $\varphi_n \rightarrow \varphi$このスペースで。制限マップ$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ 弱い星のトポロジー、したがって制限された分布のシーケンスに対して連続的です $u_n|_{C_K^{\infty}}$ 制限された分布に収束します $u|_{C_K^{\infty}}$ の弱い星のトポロジーで $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$

したがって、私たちは問題をすべてのフレシェ空間でそれを証明することに減らしました $V$、ベクトルのすべての収束シーケンスに対して $\varphi_n \rightarrow \varphi$ 連続線形汎関数の弱い星の収束シーケンス $\ell_n \rightarrow \ell$、 我々は持っています $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$$\mathbb{C}$、 なので $n \rightarrow \infty$

さらに簡単に削減することで、この場合にこれを証明するだけで十分です。 $\varphi=0$ そして $\ell = 0$

これは、この回答で説明されているように、フレシェ空間の一様有界性原理に基づいています。この定理は、家族が$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ は自動的に同程度連続です。つまり、 $\varepsilon >0$、 有る $U \subset X$ 開いた、 $0\in U$すべての人のために $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ 我々は持っています $|\ell_n(v)| < \varepsilon$。与えられた$\varepsilon$、最初にそのようなものを選択してください $U$ そして取る $n$ 十分に大きいので $\varphi_n \in U$