分離可能なデュアルを備えた弱いトポロジーのバナッハ空間
しましょう $B$ 分離可能なデュアルを備えたバナッハ空間になり、 $(f_n)$ 密度が高く、数えられる $B^*$。しましょう$\tilde{\tau}$ マップのコレクションに関連付けられた初期トポロジである $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$。
私の質問：は$\tilde{\tau}$ 上の標準的な弱トポロジー $B$？
私の試み：
しましょう $\tau$ 上の弱いトポロジーを示します $B$。明らかに、$\tau$ すべてを作ります $f_n$の連続。であること$\tilde{\tau}$ そうすることで最小、 $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$
逆に、私はそのようなトポロジーに基づいて推論しようとしました。任意に修正$x_0 \in B$、 $\epsilon >0$ そして $g_1,...,g_N \in B^*$ そしてそれを思い出してください $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ のオープンな近所です $x_0$ に $\tau$。結論として、オープンな近隣が存在することを示すだけで十分です$\tilde{U}$ の $x_0$ に $\tilde{\tau}$ そのため $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$。
私の推測はいくつか支払うことです $\tilde{\epsilon}$ 要求することで $f_{n_i} \approx g_i$ すべてのために $i=1,..,N$ 定義します $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$、しかし私は用語を制限するのに苦労しています $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ 均一に $x$。
回答
場合 $(f_n)$ の規範で密集しているはずです $B^{*}$そうすれば、これは非常に簡単です。しましょう$f \in B^{*}$。が存在します$n_1<n_2<...$ そのような $\|f_{n_i}-f\| \to 0$。これは、$f_{n_i} \to f$ のどのボールにも均一に $B$。それぞれ以来$f_{n_i}$ 連続wrtです $\overline {\tau}$ その結果 $f$ 連続wrtでもあります $\overline {\tau}$。したがって、すべて$f \in B^{*}$ 連続wrtです $\overline {\tau}$。したがって、$\tau \subset \overline {\tau}$。