ブレと角度メトリックの背後にある直感は何ですか？
私は実際の量子過程と理想的な量子過程を比較するために距離測定を読んでおり、ビュレス計量と角度計量の背後にある動機が説明されています。
ビュレス計量は次のように定義されます。
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
角度メトリックは次のように定義されます。
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
どこ $F(\rho,\sigma)$ 間の忠実度です $\rho$ そして $\sigma$密度行列。彼は、純粋な状態でそのような動機を理解できると言います。それは通常のユークリッド距離から来ることがわかります。
このような計算を行う場合、ユークリッド距離を次のように定義します。
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
ビュレス計量を見つけるために私は仮定しなければなりません $\langle X | Y \rangle \geq 0$。
しかし、なぜそうなるのでしょうか。たとえば、私が考えると：
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
間の相対位相を変更できません $|a \rangle$ そして $|b \rangle$ 私が望むように（それは物理的な状態を変えるので） $|\psi \rangle$）。したがって、$\langle a | b \rangle $ 正の数ではありません。そのためにできることは何もないと思います。
では、そのような指標の背後にある直感をどのように理解するのでしょうか。実際に、それがメトリックの公理を満たしていることを確認する「抽象的な」定義と見なす必要がありますか？しかし、論文が背後にある動機を説明する方法では奇妙でしょう。
角度メトリックに関する同様の質問。
[編集]：それは、物理的な状態間の距離を定義したいという事実から来ているのではないかと思います。検討中$|\Phi \rangle$ そして $| \Psi \rangle$2つの物理的状態、それらのグローバルフェーズは重要ではありません。したがって、簡単な式を作成するために、フェーズを選択できます$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ そのため $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ これは上限に対応します： $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$。数学的状態ではなく物理的状態の間の距離に関心があるので、それはどういうわけか理にかなっています。したがって、2つの状態のグローバルフェーズを必要に応じて修正できます。
それは理にかなっていますか ？
回答
完全な答えのためにいくつかの詳細を記入する—
リンクされた記事「実際の量子プロセスと理想的な量子プロセスを比較するための距離測定 [arXiv：quant-ph / 0408063]」から始めて、忠実度の定義は式（1）で与えられます。（4）として$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$—少し威圧的に見えるかもしれませんが、忠実度について2つの重要なことを示しています。それは、一般に密度演算子（状態ベクトルだけでなく）で定義されることと、常に非負の実数であることです。純粋な状態について計算する場合、上記の定義は最終的に次のようになります。$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ これは常に非負の実数であり、特に、どちらの状態についても考慮する可能性のあるグローバルフェーズに依存しません。 $\lvert \psi \rangle$ または $\lvert \phi \rangle$ （これは状態に関する物理的な情報ではありません）。
ビュレス計量（4ページの2列目から）は次のようになります $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ 純粋な状態の場合、これは単純化されます $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ ここで、最大値は単位ベクトルに引き継がれます $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ そして $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$。
あなたは（不合理ではないが）なぜ、純粋な状態の場合、絶対値を取るのかと尋ねます $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$、実際の部分の代わりに $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ ベクトルの内積を直接扱っている場合と同じように $\lvert \psi \rangle$ そして $\lvert \phi \rangle$。答えは、状態に関心があり、実際にはそれらの状態を表す特定のベクトルには関心がないため、状態ベクトルを直接操作しても必ずしも賢明な答えが得られるとは限らないということです。状態の場合$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$、の値 $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ そして $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ 通常は同じではありませんが、使用するかどうか $\lvert \phi' \rangle$ または $\lvert \phi \rangle$状態を表すことは、物理学にも物理学の分析にも影響を与えない、純粋に恣意的な選択でなければなりません。式の選択は、そのような任意の選択の下で安定している必要があり、さらに（メトリックの場合）値を生成する必要があります$0$ さまざまな方法を検討する場合 $\lvert \phi' \rangle$ そして $\lvert \phi \rangle$ 同じ状態を表します。
結局のところ、ユークリッド距離への単純化についての彼らの発言は、正式な声明を提供するための真剣な試みではなく、直感を提供するための迅速な試みであった可能性が高いことを覚えておいてください。ただし、絶対値（または、必要に応じて、グローバルフェーズまでの同等の状態間の最大内積）をとることが、「状態」間の「ユークリッド距離」への接続を考慮する正しいアプローチであるという感覚があります。これが彼らが念頭に置いていることだと思います。