C *代数同型

Question

私は2つの団結を持っています $C^*$ 代数 $A$ そして $B$。しましょう$X\subset A$ そして $Y\subset B$ そのスパンである $X$ とスパン $Y$ の密な*部分代数です $A$ そして $B$それぞれ。私は地図を持っています$\Psi: Span ~X \to Span ~Y$これは*-準同型です。地図もあります$\Phi: Span ~Y \to Span ~X $ そのような $\Phi\circ \Psi=id$。私はそれを結論付けることができますか$\Psi$ 間の同型写像に拡張します $A$ そして $B$？

Answer 1

いいえ、 $\Psi$収縮に失敗する可能性があります。しましょう$A=B=C[0,2]$、および $X=\mathbb C[x]$、 $Y=\mathbb C[x^3]$。どちらもストーン・ワイエルシュトラスによって密集しています。しましょう$\Psi:X\to Y$ によって与えられる $(\Psi f)(x)=f(x^3)$。次に$\Psi$ は可逆です $*$-同型。そして、$f(x)=x^n$、 $$\frac{\|\Psi f\|}{\|f\|}=\frac{2^{3n}}{2^n}=4^n.$$ そう $\Psi$ 無制限です。