$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ と無限大
一つの質問：
- の定義が $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ そしてそれは空ではありません、そしてそれはその要素がの無限の交差に属することを意味しますか $A_n$ またはの有限交叉 $A_n$ すべての自然数のために？
さらに詳しく説明するために、この紛らわしい表記法に対して私がどのように感じているかを示したいと思います。 $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$。
分析を理解するスティーブンアボット
それが定義する例1.2.2 $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$。誘導により、有限交叉ごとに空ではありません。しかし、矛盾による証明は、それが無限の場合になると、表記法を使用することを示すことができます$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$、それはヌルセットです。つまり、この例では、この表記は無限の共通部分に使用されます。
ネストされた区間プロパティを証明する定理1.4.1。 $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$。ここでは、これが無限交差であるかどうかは指定されていません。代わりに、それは言った、$\exists x\forall n\in N x\in I_n$。したがって、それ$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$。つまり、この例では、この表記はすべての有限自然数に使用されます
定理1.5.8氏は述べていた場合$A_n$ それぞれの可算集合です $n\in N$、その後 $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$可算です。 つまり、この例では、この表記は無限の共通部分に使用されます。
表記には無限大記号が含まれているという意味でこの表記に混乱していますが、その定義はすべての自然数を意味します。したがって、私はそれを見るときはいつでも、どれを適用するべきかわかりません。
私がそれが適用できる方向に行くかどうかを言う $\forall n\in N$、誘導はまったく同じことをしているので、誘導は機能するはずです！ただし、この投稿では、表記は無限大についてであると言って、そうではないことを示唆しています。
いいでしょう、私はそれが無限の交差点についてである方向を切り替えます。しかし、場合によっては、たとえば、上記のような場合、何らかの形ですべての自然数に適用できる場合は、この表記の一部であることが問題ありません。
つまり、この表記には2つの矛盾する意味があると思います。
- $\forall n\in N$
- インフィニティ
以前に調査や質問をしたことがありますが、まだわかりません。だから私は何かが間違っていて、いくつかの定義で混乱していると思います。
回答
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$セットです。何セット？セットのすべてに属するすべてのもののセット$A_n$ ために $n\in\Bbb Z^+$。しましょう$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; その後$\bigcap\mathscr{A}$ まったく同じことを意味します。 $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ は単に慣習的な表記法であり、それ以上でも以下でもないことを意味します $\bigcap_{n\ge 1}A_n$、 $\bigcap\mathscr{A}$、および $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$。ありません$A_\infty$： $\infty$ インデックスが $n$ すべての正の整数値を想定することです。
正の実数ごとに $x$ させて $I_x$ オープンインターバルである $(-x,x)$。次に$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$これらの開区間のすべてに属するすべての実数のセットです。場合$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$、その後
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
どうすればわかりますか？場合$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$、その後 $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$、したがって、の少なくとも1つのメンバーがあります $\mathscr{I}$ 含まれていない $y$、したがって定義上 $y$ 家族のセットの交差点にありません $\mathscr{I}$。一方、$0\in(-x,x)=I_x$ すべてのための $x\in\Bbb R^+$、 そう $0$ ある交差点で$\bigcap\mathscr{I}$。
どちらの場合も、どこでも帰納法を使用していません。セットの場合$A_n$ 誘導を使用できる可能性があります $n$ 各セットを示すために $A_n$ いくつかのプロパティがあります $P$、しかし、その帰納を拡張してそれを示すことはできませんでした $\bigcap\mathscr{A}$ 持っている $P$。どういうわけか、それぞれの事実を利用できるかもしれません$A_n$ プロパティがあります $P$ それを示すために $\bigcap\mathscr{A}$ また持っています $P$、しかしそれは別の議論を必要とするでしょう。それは誘導の一部ではありません。その場合の帰納的議論はそれを証明するだろう
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
個別の引数は、その結果と他の事実を使用して、単一のセットが $\bigcap\mathscr{A}$ プロパティがあります $P$。あなたはこのセットを呼ぶことができます$A_\infty$あなたがそうしたいのなら、それはただのラベルでしょう。あなたも同様にそれを呼ぶことができます$A$、または $X$、 あるいは $A_{-1}$、手に負えないけれども、なぜあなたがその最後のラベルを使いたいのか想像できません。
セットの場合 $I_x$ それぞれがそのことを示すために帰納法を使用する可能性はありません $I_x$ いくつかのプロパティがあります：これらのセットは次のようにリストできません $I_1,I_2,I_3$、など、数え切れないほど多くあるためです。私たちはまだセットについてのことを証明することができます$\bigcap\mathscr{I}$、 しかしながら。そして、私たちはそれに便利なラベルを付けることができます。$\bigcap\mathscr{I}$有益ですが、おそらく少し不便です。私はそれに便利なラベルを付けることを選ぶかもしれません$I$。
の場合 $\mathscr{A}$ 記号を使用する慣習的な表記法があります $\infty$、しかしそれは単にセットが $A_n$整数でインデックス付けされます。この例では、まったく同じ種類のことを行っています。$\mathscr{I}$、ただし、その場合、の制限を使用する可能性はありません $\infty$ 交差点では、数え切れないほど多くのセットにインデックスを付ける方法がないためです $I_x$ 整数で。