力の数学的定義[重複]
私は高校生で方程式をいじっていたので、物理的に想像できない式を導き出しました。
\begin{align} W & = \vec F \cdot \vec r \\ \frac{dW}{dt} & = \frac{d}{dt}[\vec F \cdot \vec r] = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt} \\ \implies & \boxed{P = \frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r + \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}} \end{align}
ベクトル形式の式を使用してWorkを区別しました $\vec F \cdot \vec r$そこで、積の法則を適用してこの式を取得しました。この式の場合$\frac{d\vec F}{dt}=0$ （力は一定です）、式がちょうどなるより $P = \vec F \cdot \frac{d\vec r}{dt}$ これは完全に理にかなっていますが、この式はまた、 $\frac{d\vec r}{dt}=0$ すると力の式は次のようになります $P =\frac{d\vec F}{dt} \cdot \vec r$、これは、速度がゼロの場合、必ずしもオブジェクトのパワーもゼロになることを意味するわけではないことを意味します。
しかし、私は高校の教科書にこれを見つけられず、この状況が真実である私の頭の上の例を考えることができません。
私が聞いて読んだことから、物体の速度がゼロの場合、パワーもゼロです。
誰かが私の想定される誤解を解消するか、これが発生する状況の例を教えてもらえますか？
回答
力によって行われる仕事はによって定義されていません $W=\mathbf F\cdot\mathbf r$。代わりに、仕事はパス上の線積分で定義されます（方程式は力と位置に仕事を割り当てるだけであり、力によって行われる仕事の意味とは一致しません）。我々は持っています
$$W\equiv\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf r\to\text dW=\mathbf F\cdot\text d\mathbf r$$
だから私たちが持っているとき $P=\text dW/\text dt$ 私たちはただ持っています
$$P=\frac{\text dW}{\text dt}=\frac{\mathbf F\cdot\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v$$
だからありません $\mathbf r\cdot \text d\mathbf F/\text dt$力の表現の用語。これは概念的にも機能します。力の出力は、問題の粒子の位置（つまり原点の位置）に直接依存してはなりません。
仕事は次のように定義されます $W = \int_{}^{} \vec F \cdot d \vec r = \int_{}^{} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$。電力PはdW / dt =です。$\vec F \cdot \vec v$。
あなたの仕事の関係は正しくないので、あなたの権力の関係（あなたの質問の箱入りの関係）は正しくありません。
他の人がすでに答えているように、 $W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf r$ は単純化されており、定数の特別な場合にのみ機能します $\mathbf F$。そして、あなたの公式もそうです。
それを物理的に見る1つの方法は、仕事は位置の関数ではないことを認識することです。数学的には、通常、不完全微分の概念を使用して説明します。
$$\delta W = \mathbf F \cdot d \mathbf r$$
この表記は、両側を積分して同じ数を得ることができるという事実を強調するために使用されますが、この式を再配置することはできず、実際には（一般的な場合）表現することはできません $\mathbf F$ を使用して $W$。
完全微分の例とそれによって何ができるか：
$$d \mathbf r = \mathbf v \, dt \implies \mathbf v = \frac {d \mathbf r} {dt}$$
PSあなたが書くことができるいくつかの特別な場合があります $\mathbf F = \nabla \, W$、それらの場合、それは言われています $\mathbf F$ 潜在的な力です。
導関数をとるとき、何が何の機能であるかを非常に明確にすることが非常に重要です。
仕事の定義では、力は時間ではなく位置の関数です。つまり、時間とともに変化する力場を確実に移動できますが、重要なのは、この力が過去または将来にどのように関係しているかに関係なく、パスの各ステップで測定する力です。
他の答えは、積分や微分のような奇妙なことについて議論しています。この答えは、彼らがいる場所でOPに会おうとします。それは、質問で使用される数学のレベルを対象とし、式から始まります。$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$。
おそらくあなたは、この式を始めた理由は、あなたがいることでなかった、あなたの高校の教科書でそれを見つけ、学校でそれを教えられました。それは、他のいくつかの答えが言ったこととは異なり、式が正しいからです。ただし、正しく適用するには、次の2つのことを理解する必要があります。
- 必要です $\vec{F}$ 一定である。
- 必要です $\vec{r}$オブジェクトが力を受けている間の位置の変化である$\vec{F}$。これは次のように書く方がよいでしょう$\Delta \vec{r}$。[1]
それでは、問題を見てみましょう。
もし $\frac{d\vec{r}}{dt} = 0$ すると力の式は次のようになります $P = \frac{d\vec{F}}{dt} \cdot \vec{r}$、これは、速度がゼロの場合、必ずしもオブジェクトのパワーもゼロになることを意味するわけではないことを意味します
このステートメントは、上記の2つのことを説明できません。
- それはそれを認識しません $\frac{d\vec{F}}{dt} = 0$。
- それはそれを認識しません $\vec{r}$、これは本当に $\Delta \vec{r}$、速度がゼロの場合、実際には何も意味しません。（この点に適切に対処するには、積分が必要です。他の回答を参照してください。）
[1]電気を知っている人にとって、これは人々がよく書く方法のようなものです $V$ 彼らが本当に意味するとき $\Delta V$。