長方形の領域でグローバルな最大/最小を見つける
この関数のすべてのグローバル最大/最小ポイントを見つけます。
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
頂点のある長方形の場合：
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
この長方形を描画しようとしましたが、次のようになりました。
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
偏導関数を計算しました：
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
だから私は唯一のポイントは $(3,4)$
どちらが長方形にありません...したがって、グローバルな最大/最小ポイントはありませんか？これは間違ったアプローチだと思います。ご協力いただければ幸いです。
ありがとうございました！
回答
どこでポイントを見つける $f_x = 0$ そして $f_y = 0$地域の内部にあるすべての極値を示します$[-2, 3] \times [-1, 1]$、つまり開いた長方形 $(-2, 3) \times (-1, 1)$。あなたが示したのは、内部に局所的な極値がないということです。ただし、長方形の境界にはまだ最大値/最小値がある可能性があります。（実際、$[-2, 3] \times [-1, 1]$ コンパクトであるため、分析により、グローバルな最大値と最小値を見つけることができます。）
これらのグローバルな最大値と最小値を見つけるには、どの値を調べる必要があります $f$ 長方形の境界を取ります $[-2, 3] \times [-1, 1]$。最小/最大はいつですか？
たとえば、最初に長方形の下端を見ることができます。これがポイントのセットです$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$。この地域で私たちの機能$f$ 値を取る
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
以来 $y$ 常に $-1$長方形の下端にあります。ここから、単一変数の微積分を使用して、の値を計算できます。$x$ に $[-2, 3]$ そのために $f$ 最小/最大です。
次に、反対側についても同じことを行います。
（編集：長方形の内部に加えてエッジをチェックする必要があるのと同じように、側面自体に加えて側面の「エッジ」（つまり4つのコーナー）もチェックする必要があります！言い換えれば、四隅のそれぞれでfを計算するかどうかを忘れて、それが極値を与えるかどうかを確認します。）
見つけた点が長方形にないという事実は、関数全体を見ると、最大/最小点が長方形にないことを意味します。ただし、関数の小さな領域、つまり長方形で囲まれた領域だけを調べています。
その長方形で囲まれた関数のグラフを想像できる場合は、境界のどこかに最大値と最小値があることに気付くでしょう。単一変数の微積分では、これは極値定理によって説明されます。
したがって、関数と平面y = 1、y = -1、x = -2、およびx = 3の交点から生じる4本の線の最大点と最小点を見つける必要があります。この平面は長方形の辺。
ご不明な点がございましたら、お気軽にお問い合わせください。
あなたは極値が境界に位置する古典的なケースにいるので、偏導関数を全滅させることは実際には役に立ちません。
幾何学的に考える：あなたの問題は放物面の交差を扱っています $P$ その頂点は $(3,4,100)$ およびによって定義される軸 $x=3,y=4$ と箱 $B$ そのオキシ平面との交差点はあなたが見つけたものです。
備考：交差点 $I=B \cap P$ 放物線弧の和集合です。
私の最低点は縦軸に沿っています $(x=3, y=1)$（これはPの軸に最も近い）。これらの値を方程式に代入して、$z_{min}=109$。
Iの最高点は、Pの軸から最も遠い、つまり座標を持つボックスの垂直エッジで取得されます。 $(x=-2,y=-1)$。もう一度、これらの値を方程式に代入して、$z_{max}=150$。