直感的に理解する方法 $n$-次元が大きくなるにつれて次元の立方体[重複]
だから私は*それを凸体、すなわち立方体について読んだ$[-1,1]^n$ に $\mathbb{R}^n$、それを含む最小のボールは半径を持っています$\sqrt{n}$、立方体内の最大のボールは半径を持っていますが$1$。
また、
「...寸法が大きくなるにつれて、立方体はますますボールに似たものになります。」
これらを視覚化するにはどうすればよいですか $n\geq 4$？私はちょうどそれを見ることができません！
ここに含まれる直感について助けを得ることができれば素晴らしいと思います。ありがとう！
*の2ページを参照してください
キース・ボール、「幾何学のフレーバー」の「現代の凸幾何学の初歩的な紹介」、シルヴィオ・レヴィ編、ケンブリッジ1997年。
編集：提案された答えは非常に良いですが、私が質問で懸念している特定の幾何学的構造に対応しているとは思いません。
回答
より高い立方体と球を視覚化できると思う理由は何ですか？ために$n=4$ ある種のタイムスライダーを使用してオブジェクトとオブジェクトの交点を描画するようなゲームをプレイする場合があります。 $xyz$-超平面、ただし $n>4$ これらの種類のハックはすぐに利用できなくなります。
直感あなたが引用するもののような事実の背後には、直感ではなく、ある計算。ある意味で、数学は2、3、あるいは4次元空間に対する私たちの直感に基づいて構築されています。つまり、ほとんどの定義はこの低次元の世界で何かを模倣しているということです。それでも、定義は次元が不必要であるという点ではるかに一般的であるため、より高い次元でそれらが何をするかを調べようとする方がよいでしょう（多様体のことを考えてください）。十分なことが崩壊し始めるので、そこで何が起こっているのかがわからないのは確かに残念です。多様体は滑らかでなくなるか、複数の異なる滑らかな構造を持ち、分類結果を取得することは不可能になり、球はとがったものになり、計算上、かなり異質な外観と動作を開始します。状態の一例に：ポアンカレ-conjectureは、千年紀の問題の1（つまり、より難易度の同じレベルにあったリーマン仮説や$P$ vs $NP$）そして約だった $3$-球。より高い形状は難しいです。
一方で、これは抽象的な数学の面白さです。例の小さなコレクションから導き出された直感的な定義は、すぐにエキゾチックで興味深いインスタンスを持つことが判明します。これにより、定義はさらに興味深く、研究する価値があります。