直定規のみを使用して点を通る平行線を描くことができないことのデモンストレーション。

Question

この質問への回答から、直線に平行な線をたどることは不可能であることはよく知られているようです。$\ell$ ポイントを介して： $P$、直定規のみを使用します。

そのような事実のデモンストレーションを提供できますか？

Answer 1

直定規のみを使用する構造は、射影変換（別名ホモグラフィ）を介して変換できます。

直線の直定規構造があるとします $m$ ポイントを介して $P$ 線に平行 $\ell$。射影変換マップを想定します$P\rightarrow P'$ そして $\ell\rightarrow \ell'$。次に、同じ構造で線が生成されます$m'$ これは一般的に平行ではありません $\ell'$。したがって、矛盾があり、そのような直定規の構造はありません。

射影変換が去った場合、デモンストレーションはもう少し説得力があります $P$ そして $\ell$不変。その場合、同じ構造が同じポイントとラインの前後に適用されると、2つの異なるラインが生成されます。