調和分割を含む難しい幾何学問題
鋭い三角形をしましょう $ABC$。しましょう$A_1$ そして $A_2$ 直径の円の交点 $(BC)$ とからの高度 $A$ に $BC$ （（$A_1$ に近い $A$ より $A_2$）。同様にポイントを定義する$B_1$、 $B_2$、 $C_1$、 $C_2$。しましょう$A'$ の交差点 $B_1C_2$ そして $B_2C_1$。同様にポイントを定義する$B'$ そして $C'$。証明してください$AA'$、 $BB'$ そして $CC'$ 同意します。
私の考え：多分それを見るのに役立つでしょう $(A,H;A_1,A_2)$ （どこ $H$ 三角形の垂心です $ABC$）は調和分割です。また$H$ は3つの描かれた円の根本的な中心なので、 $B_1C_1B_2C_2$は円筒形です（点のべき乗による）。図から明らかなのは$A'$ 嘘をつく必要があります $BC$。しかし、私はそれを証明する方法がわかりません。手伝ってくれませんか？前もって感謝します！
それが役立つ場合、問題は調和分割に関するルーマニアの本から来ていますが、解決策は省略されています。
回答
三線座標を使用して問題を解決します。高度$AD$ 座標がその点のセットです $x:y:z$ 満足させる $$y\cos B=z\cos C$$ 直径のある円 $BC$ 同様に定義され、満足するポイント $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ （見る https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 参考までに。）任意に設定する $x=1$ （三線座標は比率であるため）そして $y,z$ の座標を教えてくれます $A_1$ そして $A_2$： $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ プラス記号は $A_1$ マイナス記号は $A_2$; $B_1,B_2,C_1,C_2$ 周期的に並べ替えることで取得できます $A,B,C$ 上記の式で。
次に、ベクトルを関連付けます $(u,v,w)^T$両方の点が座標にある$u:v:w$とライン $ux+vy+wz=0$。点を通る線はよく知られています$P_1$ そして $P_2$ です $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ そしてその線の交点 $l_1$ そして $l_2$ です $\mathbf l_1×\mathbf l_2$。これに基づいて、線の交点$B_1C_2$ そして $C_1B_2$ です $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ したがって、 $A'$ にある $BC$あなたが疑ったように。この線$AA'$ 次に法線ベクトルがあります $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$、および同様に $\mathbf l_B=BB'$ そして $\mathbf l_C=CC'$ 周期的に並べ替えることによって $A,B,C$; これらの3つのベクトルによって形成される行列の行列式は次のとおりです。 $$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ したがって、線 $AA',BB',CC'$ 示される必要があるように、三線座標を持つ点で同意します $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$
上記のすべての式を導出するために使用したSymPyコードは次のとおりです。
#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)
def cycB(p): # ABC -> BCA
q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
return Matrix([q[1], q[2], q[0]])
f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify( B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1)) ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0
X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())