できる $\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{\sqrt{R^2+x^2-2Rx\cos\theta}},$ どこ $R$ そして $x$ 正の定数は、置換を使用して解かれますか?

Aug 22 2020

均一に帯電したリングの平面内のある点でポテンシャルを見つけているときに、解として次の積分が得られました。 $$\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{\sqrt{R^2+x^2-2Rx\cos\theta}},$$ どこ $R$ そして $x$は正の定数です。この積分は置換を使用して解くことができますか?

回答

5 ClaudeLeibovici Aug 22 2020 at 08:41

$$\frac{1}{\sqrt{R^2+x^2-2 R x \cos (\theta )}}=\frac{1}{\sqrt{R^2+x^2}}\frac{1}{\sqrt{1-k\cos (\theta )}}$$$k=\frac{2Rx}{R^2+x^2}$$$\int \frac{d\theta}{\sqrt{1-k\cos (\theta )}}=\frac 2 {\sqrt{{1-k}}} F\left(\frac{\theta }{2}|\frac{2 k}{k-1}\right)$$ $$\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k\cos (\theta )}}=\frac 4 {\sqrt{{1-k}}}K\left(\frac{2 k}{k-1}\right)$$

場合 $k$ 小さいので、拡張を使用できます $$\frac 4 {\sqrt{{1-k}}}K\left(\frac{2 k}{k-1}\right)=2\pi \left(1+\frac{3 k^2}{16}+\frac{105 k^4}{1024}+\frac{1155 k^6}{16384} \right)+O\left(k^8\right)$$

より良い近似が必要な場合は、パデ近似を使用できます $$\frac 4 {\sqrt{{1-k}}}K\left(\frac{2 k}{k-1}\right)=2\pi\frac{1-\frac{497 }{576}k^2+\frac{3835}{36864}k^4 } {1-\frac{605 }{576}k^2+\frac{7315 }{36864}k^4 }$$

1 SarGe Aug 22 2020 at 09:15

かつて私もこの結果を導き出そうとして、同じステップで立ち往生しました。インターネットで多くの記事や要約を検索した後、私はこの積分の単純な分析ソリューションはなく、多くの重い計算が必要であると結論付けました。

ポテンシャル方程式は次のようになりました $$V=\int_0^{2\pi}k\cdot\frac{Q\ d\theta}{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+x^2-2Rx\cos\theta}}=\frac{k\ Q}{\pi\ R}\int_0^{\pi}\frac{d\theta}{\sqrt{a-b\cos\theta}}$$

どこ $\displaystyle a=1+\frac{x^2}{R^2}$ そして $\displaystyle b=\frac{2x}{R}.$

1. 1つの可能性は、被積分関数をべき級数として表現することです。 $\cosθ$、次に用語ごとに統合します。

を使用して、このシリーズを統合します $$\int_0^{\pi} \cos^nθ\ dθ=\begin{cases}\frac{(n−1)!!π}{n!!} &, \text{if $n$ is even}\\ 0 &, \text{if $n$ is odd}\end{cases}$$

$$V=\frac{k\ Q}{R}(1+\frac{3}{16}c^2+\frac{105}{1024}c^4+\frac{1155}{16384}c^6+\frac{25025}{4194304}c^8+...)$$

どこ $\displaystyle c=\frac{b}{a}=\frac{2(x/R)}{(x/R)^2+1}.$

2.でべき級数を取得できます $x/R$

式を考えてみましょう $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{R^2+x^2−2Rx\cosθ}}=\frac{1}{R\sqrt{1+(x/R)^2−2(x/R)\cosθ}}$

この三項式を展開すると、係数を計算できるルジャンドル多項式が得られます。統合した後、次のようになります。

$$V=\frac{k\ Q}{R}\left(1+\frac{1}{4}(\frac{x}{R})^2+\frac{9}{64}(\frac{x}{R})^4+\frac{25}{256}(\frac{x}{R})^6+\frac{1225}{16384}(\frac{x}{R})^8...)\right)$$