できる $\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$ 2つの要素だけで生成されますか？

Question

しましょう $\mathbb{Q}(x,y)$ 変数の有理関数のフィールドである $x, y$ 有理係数を使用して、そのサブフィールドを検討します $K=\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$。存在しますか$p, q \in K$ そのような $K=\mathbb{Q}(p,q)$？答えが肯定的である場合、そのような2つの要素を明示的に見つけることができますか？

この質問は、私の前の投稿に対する彼の驚くべき答えの中で、再会によって尋ねられました https://math.stackexchange.com/questions/3902911/subextensions-of-finitely-generated-fields。私の直感に従えば、答えは否定的だと思いますが、可能な証拠はわかりません。どんな助けでも大歓迎です。

Answer 1

我々は持っています $K={\bf Q}(x,y)$。

なぜなら $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ そのため $xy\in K$ そして $x=(x^3+xy(x+y))/((x+y)^2-xy)$。