デルタデルタ分布の反対
多変量ディラックのデルタ分布は、多かれ少なかれ直感的に次のように表すことができます。
\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
どこ
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$
その「反対」はありますか、それは次のように表現できます
\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}
ここでも
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$
?
このディストリビューションの名前やシンボルはありますか?
文脈のために:私はそれらを畳み込みで使用することを計画しており、それらを確率密度として扱っています。
回答
両方の制限 $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$分布の完全に厳密な定義であり、最初のものは分布の意味で収束します。$\delta$ そして2番目のものは $0$。