ディラックですか $\delta$-関数は必然的に対称ですか？

Question

ディラック $\delta$-関数は、次の制約を満たす分布として定義されます。

$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$

$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$

一部の著者はまた、そのディラックが $\delta$-関数は対称的です。 $\delta(x)=\delta(-x)$

今私の質問は、ディラックが個別に制約を課す必要があるかどうかです $\delta$-関数は対称的ですか、それとも他の制約から自動的に取得されますか？

さて、私のクエリを明確に説明するために、次のような関数を定義します。 $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ どこ ${\rm rect}(x)$ と定義されている： $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ 確かに対称ではありませんが、次の条件を満たすものです。 $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$

さて、私の質問は、定義できますか？ $ξ(t)$ ディラックのデルタ関数としてかどうか？

Answer 1

「デルタ関数」は関数ではなく、分布です。配布は、テスト機能に番号を割り当てる方法の処方箋です。この分布は、通常の意味での関数値を持つ場合がありますが、そうである必要はありません。デルタ分布の場合、関数値はありません。

だから次のようなステートメント

$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ 意味「の値 $\delta$ で $x$ の値に等しい $\delta$ で $-x$「は無意味/無効です。

しかし、声明 $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ 有効な場合があります。

の機能を簡単に確認できます $\Delta$ そして $x$ （制限記号の後の式の定義 $\xi$）は、これら2つのステートメントのいずれも満たしていません（ $\delta$）。したがって、「対称」ではありません。

デルタ分布は、仮想的に2番目のステートメントのみを満たすことができます。そうですか？

平等の両側を評価することができます。左側には、次の定義により値があります。$\delta(x)$、 $f(0)$。

右辺の積分をに変換することができます $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ の定義による $\delta(y)$、この積分の値は $f(0)$、左側と同じです。したがって、（**）は満たされます。

方程式 $\delta(x) = \delta(-x)$ したがって、の定義の結果です $\delta(x)$、それは独立した仮定ではありません。

あなたの機能 $\xi$ たとえ、実際には2番目のステートメントにも従う可能性があります（したがって、その意味で対称的です）。 $\Delta$制限記号の後の依存式はそうではありません。これは、デルタ分布の他の近似についても同様です。近似には次のプロパティがない場合があります$\delta$ （対称性など）が、限界はあります。

Answer 2

象徴 $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ 2つの引数で $x,y\in\mathbb{R}$ディラックのデルタ 分布の非公式なカーネル表記です $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ として定義

$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$

テスト機能用 $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ したがって、上記のように定義されたディラックのデルタは対称です。 $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. OPのタイトルの質問。

Answer 3

デルタ関数は、一連の関数で定義された分布です。数学者は通常、これをブラケット記法を使用して表現します。ここで、デルタ関数はブラです。$<\delta|$ そして $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$

連続関数のセットについて言えば、対称性の要件は必要ないと思います。しかし、これは通常は当てはまりません。量子力学では、自乗可積分関数のセットを使用します。これは軽度の要件であり、不連続性が許容されます。

ここで、ゼロで不連続になる可能性のある関数を検討している場合は、何をするかを明示的に定義する必要があります。対称デルタ分布は次のようになります。

$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$

また、連続関数では同じように機能するが、不連続性の場合は異なる動作をする別の異なる「デルタ関数」を使用できます。

ボーナス：1次元の量子力学では、接続するための複数の方法によって定義された「デルタのような潜在的な障壁」のセット全体があります $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ に $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$。教科書の誤りのため、命名法はここでは悪夢です。各「デルタ」または「単一ポイントでサポートされるバリア」は、原則として間隔を結合するものと見なすことができます。$(-\infty, 0)$ そして $(0, \infty)$。