ディスクの商空間のユニバーサルカバー

Question

の普遍的な被覆空間を見つける必要があります $X=D^2 / \sim$ どこ $x \sim y$ iff $x=y$ または $ x,y \in S^1$ そして $q(x)=q(y)$。ここに$q: S^1 \mapsto S^1$ 円のn枚の被覆空間です。

これが私が考えていることです。n= 2の場合、これは対蹠点が識別されたディスクであり、この場合、実射影平面の普遍的なカバーは $S^2$。実射影平面を（対蹠点が特定された円盤ではなく）対蹠点が特定された球と見なすと、これを証明する方法を知っています。また、この場合$q$ 2枚のカバースペースと私たちの普遍的なカバーです $p$ 2枚です（これは理にかなっています $\pi_1(RP_2)=Z_2$）。

今、私たちのために $X$、それを証明するのは難しいことではありません $\pi_1(X)=Z_n$。ですから、私たちの普遍的な被覆空間は、n枚の被覆空間になると思います。しかし、私はそれが何であるかを理解するのに苦労しています。それも球ですか$S^2$いくつかの特定のプロパティで？もしそうなら、それを証明する方法は？

Answer 1

これは、3枚の円を覆うために書かれています。しかし、これは一般化可能です。

3つのディスクを取り、それらの境界に沿ってそれらを識別し、同じ色の領域が識別される次の商マップを検討します。これはあなたに普遍的なカバーを与えるでしょう。

この空間は単純につながっており、カバーは3つ折りになっていることがわかります。