どうやって $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ 単調収束定理から従う？

Question

ルーディンの実数と複雑な分析では、彼は平等

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

にとって $a_{i,j} \ge 0$ 単調収束定理のこの結果から（可算集合の数え上げ測度を介して）次のようになります。

場合 $f_n: X \to [0, \infty]$ 測定可能であり、 $f = \sum f_n$、その後

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

しかし、私はこれを見るのに苦労しています。可算集合の各点にインジケーター関数を使用していると思いますが、それを実現するための明確な操作は見当たりません。どんな助けでもいただければ幸いです。

Answer 1

しましょう $X=\mathbb N$ そして $S$ のべき集合である $X$。しましょう$\mu$ のカウントメジャーになる $X$。[$\mu(E)$ のポイント数です $E$ これは $+\infty$ もし $E$ 無限集合です]。

任意の機能について $g: X \to [0,\infty)$ 我々は持っています $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$。

今取る $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$。次に$f_n$ 機能に増加します $f$ によって定義されます $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$。したがって、$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$。これは与える$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$。