同形格子、複素トーラスおよびそれらのヤコビアンとの関係
しましょう $g >1$ 自然数と $\mathbb{C}^g$ 同型である複素ベクトル空間 $\mathbb{R}^{2g}$ は実数のベクトル空間です。
加法サブグループ $\Gamma \subset \mathbb{C}^g$存在する場合はラティスと呼ばれます$2g$ ベクトル $\gamma_1,... \gamma_{2g}$、線形独立 $\mathbb{R}$ そのような $\Gamma= \mathbb{Z} \gamma_1 + ... + \mathbb{Z} \gamma_{2g}$。
しましょう $\Gamma, \Gamma' \subset \mathbb{C}^g$ 2つの格子である $\Gamma= \mathbb{Z} \gamma_1 + ... + \mathbb{Z} \gamma_{2g}$ そして $\Gamma'= \mathbb{Z} \gamma' _1 + ... + \mathbb{Z} \gamma' _{2g}$。2つの商群の場合の特性はありますか$\mathbb{C}^g / \Gamma$ そして $\mathbb{C}^g / \Gamma'$ 格子間の特定の関係に依存してアーベル群として同型である $\Gamma$ そして $\Gamma'$？
私の最初の推測は $\mathbb{C}^g / \Gamma \cong \mathbb{C}^g / \Gamma'$ 存在する場合に限り $M \in GL_{2g}(\mathbb{Z})$ と $M \cdot \Gamma = \Gamma' $ そして $M \cdot \gamma_i = \gamma_i '$。または私はさらにそれを要求する必要があります$M$ 住む $O_{2g}(\mathbb{Z})$、 $O_{2g}(\mathbb{Z})$ またはスカラー行列ですら $c \cdot Id$ と $c \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$？
私の動機は、リーマン面でのフォースターの講義からのリーマン面のヤコビアンについての私の質問です。コンパクトなリーマン面があります$X$ 属の $g$ とフォースターのヤコビアンの構築 $Jac(X)$ 根拠の明示的な選択に基づく $\omega_1,..., \omega_g$ の $\mathbb{C}$-正則の空間 $1$-フォーム $\Omega (X)$。Forsterは、の部分空間が$\mathbb{C}^g$ すべてのベクトルで構成されます
$$(\int_{\alpha} \omega_1, \int_{\alpha} \omega_2, ... \int_{\alpha} \omega_g)$$
どこ $α$ 基本群を通過します $\pi(X)$ 格子を形成する $\Gamma= \mathbb{Z} \gamma_1 + ... + \mathbb{Z} \gamma_{2g} \operatorname{Per}(\omega_1,..., \omega_g) \subset \mathbb{C}^{g}$ ヤコビアンはによって定義されます $Jac(X):= \mathbb{C}^g/ \operatorname{Per}(\omega_1,..., \omega_g)$。一見すると、この定義は根拠の選択のために悪いようです$\omega_1,..., \omega_g$。しかし、フォースターはまた、異なる基礎の選択が同型につながるという証拠を提供せずに述べました$Jac(X)$。
つまり、最初に2つの商を知る必要があります $\mathbb{C}^g / \Gamma$ そして $\mathbb{C}^g / \Gamma'$ 格子付き $\Gamma$ そして $\Gamma'$ 同型アーベル群と見なされ（Forsterはそれらをコンパクトな複素多様体、またはForsterがどのタイプの同型と見なすかを追加で考慮しないと思います）、なぜ異なる基底を選択すると同型ヤコビアンが得られるのでしょうか？
回答
1次元の結果を説明する1つの方法は、次のように言うことです。 $f: X\to X'$ 2つの楕円曲線の双正則写像です $X={\mathbb C}/\Gamma, X'= {\mathbb C}/\Gamma'$、その後：
各リフト $F$ の $f$ に ${\mathbb C}$ は可逆複合アフィンマップです $z\mapsto az+b$、自由アーベル群の同型写像に関して同変 $\phi: \Gamma\to \Gamma'$、すなわち： $$ F\circ \gamma= \phi(\gamma)\circ F, \forall \gamma\in \Gamma. $$
逆に、各アフィンマップ $F$ 上記のように双正則写像に下降します $f: X\to X'$。
まったく同じことが高次元でも機能します $\Gamma, \Gamma'$ の格子です ${\mathbb C}^n$、もちろん、可逆複合アフィンマップがによって与えられることを除いて $$ z\mapsto Az + b, A\in GL(n, {\mathbb C}), b\in {\mathbb C}^n. $$ 証明はかなり簡単です：リフト $f: X\to X'$ 双正則写像へ $$ F: {\mathbb C}^n\to {\mathbb C}^n $$ これは同型写像に関して同変です $\phi: \Gamma\to \Gamma'$、 $$ F\circ \gamma \circ F^{-1}= \phi(\gamma), \forall \gamma\in \Gamma. $$
同変条件の微分 $$ F\circ \gamma= \phi(\gamma)\circ F, \forall \gamma\in \Gamma, $$ 連鎖律を使用して、それを取得します $$ DF \circ \gamma= DF, \forall \gamma\in \Gamma. $$ したがって、ヤコビアン導関数 $DF$ は $\Gamma$-不変の正則マッピング ${\mathbb C}^n\to {\mathbb C}^n$したがって、正則マップに下降します $X\to {\mathbb C}^n$、これは、のコンパクト性によって一定でなければなりません。 $X$。したがって、マップ$z\mapsto DF(z)$も一定です。言い換えると、$F$複雑なアフィンマップです。qed
伝統的に、同変条件は、の自由基底を選択することにより、その行列形式で記述されます。 $\Gamma$ でその画像を指定します $\Gamma'$ 下 $\phi$。上記の方程式を同じように自由に書き直してください。個人的には、補助的な選択に依存するため、これは好きではありません。