どんなサイズでもスリム？
正の整数が整数のシーケンスの一部であり、それぞれの後に長さ、つまり桁数で割ったものである場合、それをスリムダウン可能または略してスリムと呼ぶという彼の質問を思い出してください。特に、それぞれはその長さで割り切れる必要があり、シーケンスは1桁の数字に達するまで下降します。
例：
108：スリムだから $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$
78：スリムではない $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$
正の整数についてそれを証明または反証する $n$ スリムな数があります $n$ 数字。
注：コンピューターを使用して、反例を作成したり、たとえば、漸近的な結果を補完したりすることができます。そうすることを選択した場合、コードを検証するために、次のテストの質問に答えてください。
で解決策はありますか $11111$数字？はいの場合：いくつですか？中央値の最初の10桁は何ですか？
それぞれについて$n$ の間に $1$ そして $11111$ でソリューションの数を計算します $n$数字。最大数はいくつですか？
コードの迅速な健全性チェックとして使用できるテストケースは次のとおりです。
3590桁には、4つの解決策があります。それらはすべてスリムになります$6$。これらの番号の最初の10桁は、「3159252337 ...」、「3735860235 ...」、「4606981484 ...」、「6706597705 ...」です。
回答
結論：
どんな場合でも $n$-数字、すべての正の整数にスリムな数字は存在できません $n$。
理由：
すべてのために $n$、の倍数が必要です $n$ あれは $n$-桁の長さ。
私たちと呼びましょう $n$-桁番号 $Z$。
それを考慮に入れてください$10^{ceil(log(n))}$ -これを呼びましょう $a$、 がなければならない $a/n$ の倍数 $n$。これにより、痩身プロセスを進めることができます。
振り返ってみましょう$Z$。前の2つの手順で、適切なものを選択した場合$Z$、少なくとも1つの番号があります $y$ 長さの $(n-a)$ または $(n-a+1)$ どこ $y = Z/n$ と新しいで表現することができます $Z$ プロセスを繰り返します。
私は現在、5〜9で始まり（1〜4は2桁の数値を生成できないため）、Excelで#Valueエラーが発生したところで終わる新しい値を生成するExcelスプレッドシートの所有者です。
下の画像は降順（9から5）です。
私を食い物にしているのは大きい $n$。
ために $n$ = 10億、私はのためのスリムな数があることを保証することはできません $n$特に私には5つの開始パスしかないため、10億から10億から9の間です。
そして、ギャップはますます広くなるので$n\rightarrow\infty$、すべての正の整数にスリムな数値はあり得ません$n$。
例：$n$ = $1E1,000,000$、私の分割により、最初の数が6桁減少し、ギャップに5つの決定論的パスしか埋められない可能性がありますが、最終的には埋められません。