どのような正の整数 $n$ 機能を最大化します $f(n) = \sigma_0(n)/n$？
友人と私は、どちらのベースが最適かについて話し合っていました。サイズに比べて除数が最も多いので、12が最適であると私は主張しました。ただし、実際にこの比率を最大化する数が12であるかどうかはわかりません。調査するために、私は12が関数を最大化すると主張することによって私の観察を形式化しました$f(z) = \sigma_0(z)/z$ どこ $\sigma_0(n) = \sum_{d|n} d^0$ の約数を数える関数です $n$。私はいくつかの記事といくつかの興味深いプロパティを見つけました$\sigma_0$しかし、私がこの特性を証明するために使用できたものは何もありません。私はこの種のことをあまりよく知らないので、どうやってそれを行うのか正確にはわかりませんでした。
誰かがこれをどのように証明できるかについて何か考えがありますか？今のところ、最も役立つ式は次のように思われます$$\sigma_o(n) = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}(1 - a_i)$$ どこ $\omega(n)$ の明確な素因数の数です $b$ そのため $n = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}p_i^{a_i}$。
前もって感謝します！
編集：もう少し考えてみると、12は間違いなくこれを最大化していないようです。たとえば、6には4つの除数があり、12には6つの除数があります。コメント提供者も指摘しているように、3には2つの除数があります。ただし、除数が2つある場合は、2が最適のようです。場合$\sigma_0(n) = n$、そしてすべてのために $m \leq n$、私たちはそれを持っているでしょう $m|n$。これは、すべての素数が$n$ の素因数分解に含まれます $n$。これはかなり強力なプロパティであり、2つしか保持されていないと思います。
回答
最初に注意してください $\displaystyle \frac{\sigma_0(n)}{n} = \prod_p \frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}}$ どこ $\alpha_p \ge 0$。
だが $\displaystyle\frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}} < 1$ すべての素数のために $p$ そしてすべて $\alpha >0$ 唯一の例外を除いて $p = 2$ そして $\alpha = 1$、これは、すべての $\alpha$は $0$ （（$n = 1$）または $\alpha_2$ です $0$ そして $\alpha_2 = 1$ （n = 2）。
この答えから、私たちはそれを知っています
$$\sigma_0(n)\leq n^{\frac{1.0660186782977...}{\log \log n}}<n^{ \frac{2}{\log \log n}}$$
（平等で $n=6983776800$）。これは、
$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}$$
さて、それは簡単にわかります $n\geq 1619$ 我々は持っています
$$\frac{2}{\log \log n}-1<0$$
その後、 $n\geq 1619$ 私たちは知っています
$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}<n^0=1$$
だが
$$\frac{\sigma_0(1)}{1}=\frac{\sigma_0(2)}{2}=1$$
これで、すべての整数をチェックするだけで済みます $3\leq n\leq 1618$。これらは簡単にチェックでき、関数はで最大化されていると結論付けます。$n\in\{1,2\}$。
編集：あなたがケースが必要な場合 $n\geq 3$、それから私達がそれを見るのとほとんど同じ方法で $n\geq 2880$ 我々は持っています
$$n^{\frac{2}{\log \log n}-1}<\frac{3}{4}$$
次に、すべての整数をチェックした後 $5\leq n\leq 2879$ 関数はで最大化されていると結論付けることができます $n=4$ どこ
$$\frac{\sigma_0(4)}{4}=\frac{3}{4}$$