同相写像間のホモトピー

Question

しましょう $X=\mathbb{R}^n$、 $\phi_0,\phi_1:X\rightarrow X$自動同相写像である。いつホモトピーを構築できますか$$ \begin{aligned} \Phi &:X\times [0,1]\rightarrow X\\ &(x,t)\mapsto \Phi(x,t) \end{aligned} $$ そのような $\Phi(x,i)=\phi_i(x)$、 ために $i=0,1$ そしてそれぞれのために $t \in [0,1]$、 $x\mapsto \Phi(x,t)$ 同相写像ですか？

Answer 1

これは、空間のパスコンポーネントについて質問しています $\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$。

のパスコンポーネントを計算するウォームアップの質問をしましょう $\operatorname{Diffeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$。翻訳すると、原点を固定する微分同相写像を含めることは変形の収縮であるため、微分同相写像が原点を固定すると仮定することができます。

原点に近いローカルマップ $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$偏導関数の行列のように動作します。基本的に無限にズームインすることで、$f$ に $f'$ それは継続的に依存します $f$。したがって、次の変形収縮があります。$\operatorname{Diffeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$ に $GL_n(\mathbb{R})$、後者には、マップの次数によって決定される2つのパスコンポーネントがあります。見るhttp://people.math.harvard.edu/~kupers/teaching/272x/book.pdf 正確な議論のための定理9.1.1。

トポロジの場合ははるかに困難ですが、上から、マップの次数に応じて正確に2つのパスコンポーネントがあると推測できます。それは、すべての次数1の同相写像という難しい定理に依存しています。$\mathbb{R}^n$ は安定しています。つまり、開集合のアイデンティティである同相写像の合成です。

安定した同相写像が同一性と同位体であることを証明するのは簡単なので、2つの経路成分があります。 $\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$。参考までに、Kupersによる上記のメモの第26章を参照してください。

したがって、あなたの質問に直接答えるために、あなたはそのようなホモトピーを持っています、それが両方とも方向を維持している、または両方が逆転している場合に限ります。