ドット積のプロパティ

Question

次の主張を証明または否定したい：

2つのベクトルを取る場合 $\mathbf{v}_1$ そして $\mathbf{v}_2$ に $\mathbb{R}^{d}$ （（$d$ は必ずしも2ではないため、幾何学的証明は利用できません）、およびそれらの間の角度は、によって定義されます。 $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ 以下が成り立ちます：

1. 任意のベクトルの場合 $\mathbf{u}$ st $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ 私たちが表すなら $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ そして $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ 取得します $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. 任意のベクトルの場合 $\mathbf{u}$ st $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ 私たちが表すなら $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ そして $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ 取得します $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

私は多くの数値シミュレーションを実行し、それが成り立つように見えるので、上記が成り立つとかなり確信しています。つまり、主張は証明され、矛盾しない必要があると信じています。

いくつかの代数的トリック（三角不等式など）でコサインの代数的定義を使用しようとしましたが、一般化されたコサイン不等式（ベクトルの場合）と同じように機能しませんでした。

Answer 1

どちらの主張も誤りです。置き換えることで一方のクレームを他方から取得できるため$u$ 沿って $-u$、最初の主張を反証するだけで十分です。

2つの線形独立ベクトルを選択します $u$ そして $v_1$ そのような $v_1^Tu>0$。しましょう$v_2=2v_1$。次に$v_2^Tu>0$ だが $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ 具体的な反例として、 \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} 次に $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ それゆえ $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ 摂動することによって $v_2$ それ自体に垂直な方向にわずかに沿って、反例を得ることができます。 $v_1$ そして $v_2$ 線形従属ではありません。