$\ell^1$ ユニットボールファンクターの左随伴関手としてのファンクター

Question

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https://mathoverflow.net/a/38755/1106

Yemon Choiは、次のように述べています。 $\ell^1$ ファンクターは、忘れられた単位球ファンクターに隣接して残された、無料のバナッハ空間ファンクターです。

この声明は私には興味をそそられますが、Yemonがここでどのカテゴリーとファンクターについて話しているのかよくわかりません。片側にバナッハ空間のカテゴリ（どのマップがありますか？）があると思いますが、もう一方はどうですか？誰かがここに詳細を記入することができれば、私は非常に嬉しいです。また、この視点を取り入れた機能分析テキストへの言及があれば、その答えにも満足しています。

Answer 1

あなたはカテゴリーを取りたい $\text{Ban}_1$バナッハ空間と短い地図（作用素ノルムの線形地図$\le 1$）。単位球ファンクター$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ によって表されます $\mathbb{C}$、およびその左随伴はセットを送信します $S$ の副産物に $S$ のコピー $\mathbb{C}$、 $\ell^1(S)$。これは、私たちが自然な全単射を持っていることを示しています

$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$

セットからの地図 $S$ 単位球に $U(B)$ バナッハ空間のは、短い地図に独自かつ自由に拡張されます $\ell^1(S) \to B$、「線形性」による。

直感的に言えば、これは $\ell^1(S)$ から取得されます $S$ の各要素を要求することによって $S$ 規範を持っている $1$ （それが単位球内にあり、他の単位球の他の要素にすぐにマッピングできるように）そして線形結合を要求します $\sum c_s s$これと互換性のある可能な限り最大のノルムを持っている（他のバナッハ空間の他のそのような線形結合にすぐにマッピングできるようにするため）。我々は持っています$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ 三角不等式と $\ell^1$ 規範はこれの平等の場合です。

この構造は、次の副産物の構造に一般化されます。 $\text{Ban}_1$、これは次のようになります：if $B_i$ バナッハ空間のコレクションであり、その副産物は $\text{Ban}_1$ ベクトル空間の直和の完了です $\bigoplus_i B_i$ への敬意を持って "$\ell^1$ ノルム」 $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$。

自己宣伝についてお詫びしますが、のカテゴリプロパティについてもう少し詳しく説明します $\text{Ban}_1$（例えば、それは完全、共完全、閉対称モノイド圏）私のブログ投稿バナッハ空間（およびローヴェア計量、閉圏）にあります。特に、私は短い地図の使用を動機付けようとしています。有界線形写像のみを扱う場合、普遍性を介して等長写像までバナッハ空間を復元することは期待できないことに注意してください。$\text{Ban}_1$アイソメトリックです。一方、カテゴリ言語は、閉じた構造を介して、有界マップについて話すことができます。

Answer 2

Bang（Ban、geometric）が、オブジェクトがバナッハ空間であり、射がノルムを持つ線形写像であるカテゴリを表すとします。 $\leq 1$。（実数スカラーまたは複素数スカラーのいずれかを処理できます。）オブジェクトがセットであり、射が関数であるカテゴリをSetとします。$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$

ファンクターがあります $\Ball$BangからSetまで、各Banach空間に閉じた単位球を割り当てます。バンの射の条件は、それぞれが$f:X\to Y$ バンでは機能に制限されます $\Ball(X) \to \Ball(Y)$。

残されたものは何に隣接するでしょうか $\Ball$のように見える？コンマカテゴリの初期オブジェクトに関する説明/特性評価を使用できます。だから各セットのために$S$ バナッハ空間が欲しい $F(S)$ と機能 $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ 次の普遍性を持つ：いつでも $E$ バナッハ空間であり、 $h:S\to \Ball(E)$ 関数であり、独特の強射があります $T: F(S)\to \Ball(E)$ そのような $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ 関数として。

さまざまな射の定義を解明する：私たちが必要としているのは、あらゆる関数のそれです $h$ から $S$ に $E$ 満足 $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ すべてのために $j\in S$、一意の線形マップが必要です $T: F(S) \to E$ そのような $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ すべてのために $v\in F(S)$ そして $T(\eta_S(j))=h(j)$ すべてのために $j\in S$。

やる気を起こさせようとしたので、仮設を作りましょう。定義する$F(S)$ バナッハ空間になる $\ell_1(S)$ その通常の規範で $\Vert\quad\Vert_1$; しましょう$(e_j)_{j\in S}$ の標準基底bectorsを示します $\ell_1(S)$。線形写像の唯一の可能な候補$T:\ell_1(S) \to E$ は：定義する $T(e_j):= h(j)$ それぞれについて $j$、および線形性と連続性によって拡張します。これが機能することを確認するには、$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ 我々は持っています

$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$

要約すると、本質的に上記の議論が言っていることは、 $\ell_1(S)$ バナッハ空間へ $E$ 有界関数を定義します $S\to E$、そしてそれは逆にすべての有界関数 $S\to E$ 一意の有界線形拡大があります $\ell_1(S)\to E$。（カテゴリー言語ではなくアナリスト言語で記述されているこの段落は、すべてに規範がある必要はないため、もう少し一般的であることに注意してください$\leq 1$; しかし、この分析の素晴らしい声明を知りたいのであれば、バンに制限することが不可欠であるように思われます-随伴の言葉で事実。

実際、私たちはさらに進んで、随伴同型と言うことができます $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$、アプリオリは集合の自然に振る舞う全単射であり、バンの同型写像に富むことができます： $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$。

Answer 3

これは、運動20の上に、167ページでの機能解析の講義と演習によってHelemskii。

より十分な議論は、イジー・ロシツキーによって「バナッハ空間は単調ですか？」で行われます。、arXiv：2011.07543。