円の半径の合計が

Question

$ABCD$外接四辺形です。三角形の内側に描かれた円の半径の合計が$\Delta ABC$ そして $\Delta CDA$ 三角形の内側に描かれた円の半径の合計に等しい $\Delta BCD$、 $\Delta DAB$。

私は私が使用できるという考えを思いついた https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilaterals中心間の距離が等しいことを証明するために-それらは長方形を作ります-しかし私はそれを解決することはできません。助けてください。

Answer 1

ヒント。カルノーの定理を使用する：三角形が与えられた$\Delta ABC$、 $O$ その外心を示し、 $R$ その外接円半径、および $r$その内接円半径。しましょう$O_1,O_2,O_3$ さらに、の直交射影である $O$ に $BC, CA, AB$それぞれ。その後、$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ 注意：セグメント $OO_i$ 次の場合は負と見なされます $OO_i$ 完全に外にある $\Delta ABC$それ以外の場合はポジティブです。

ここに、$\color{blue}{OO_2}$ 負になりますが $\color{red}{OO_1, OO_3}$ポジティブです。便宜上、$AB=:c, BC=:a, CA=:b$。そのことに注意してください$OO_3BO_1$ 以来、共円四辺形です $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$、したがって、推測するためにトレミーの定理を使用できます $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$同様に、\ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdotを取得しますa + OO_1 \ cdot b \ end {cases}

これらを合計して、よく知られている方程式を検討してください $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ （なぜ取ることが重要なのか分かりますか $OO_2$ネガティブになる？）最初の部分は分割の結果です$\Delta ABC$内心を頂点とする3つの三角形に分割します。2番目の部分は些細なことです。$$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

さて、あなたの問題に戻って、私たちがこの宝石を手に入れたら、それを終えるのはかなり簡単です:)

（画像を参照します。）カルノーの定理を2回使用することに注意してください。 $\Delta ABD$ そして再び $\Delta BCD$、 私達は手に入れました $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ そのことに注意してください $OO_5$ は負です $\Delta ABD$ とポジティブ $\Delta BCD$。したがって、これら2つの方程式を追加すると、次のようになります。$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ 参照すると、この式が同じになることは簡単にわかります。 $r_3+r_4$。