エネルギー保存なしで運動量を保存することはできますか？
ネーターの定理によれば、ハミルトニアンが与えられた方向への並進の下で不変である場合、対応する線形運動量は保存されます。また、ハミルトニアンが時間に依存しない場合、総エネルギーは保存されます。
この論理に従うと、並進不変であるが時不変ではないハミルトニアンを持つことが可能であるはずです。 $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$ どこ $V$ の機能のみです $t$。その場合、エネルギーではなく運動量が保存量になります。これは直感に反するか驚くべきことでしょうか、それともハミルトニアンを定義する方法の単なるありふれた結果でしょうか？そして、そのようなプロパティは、現実の問題と何らかの関連性がありますか？
回答
関数を追加するだけ $V(t)$ ハミルトニアンには何もしません-運動方程式はハミルトニアンwrtの導関数のみを含みます $q$ そして $p$、そしてこれはシステムについて何も変わらないので、あなたはそれのためにもっと奇妙なハミルトニアンを選んだだけです。エネルギーはまだ保存されており、ハミルトニアンの値と同じではなくなりました。
ネーターの定理はハミルトンの不変量に関するものではなく、作用の不変量に関するものであり、作用において、被積分関数への純粋な時間関数の追加は、（追加された関数の不定積分の）合計時間微分の追加です。 ）、これはネーターの定理が気にする（不）不変の振る舞いを変更しません。
運動量は保存されているがエネルギーは保存されていないシステムが実際に必要な場合は、関数を追加する必要があります $V(p,t)$ ここでは勢いと時間がありますが、実際のシステムは通常そのように機能していないようです-ほとんどすべての有用なハミルトニアンは $p^2 + V(q,t)$ 代わりに、ここで $V(q,t)$ は、時間とともに変化する可能性のある力場の可能性です。
複数のポジションがある場合 $q^i$、次に、関数を追加することにより、時変であるが運動量を保存するハミルトニアンを構築することもできます。 $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$ハミルトニアンに。私は実際にこれが行われるのを見たことがありませんが、おもちゃの例は、時間の経過とともに充電される2つのデバイスである可能性があります-それらの間のクーロン力はこの形式になります。電荷の流入、つまり電位があるため、エネルギーは保存されませんが、他の力が関与せずに互いに引き付け/反発する2つの物体であるため、運動量は保存されます。