演算子の時間依存性

Question

グリフィスの量子力学入門で、位置の期待値の時間発展を研究している間、著者は次のように書いています。 $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

そう $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

彼はただそれを仮定しましたか $x$時間依存性はありませんか？なぜ？

Answer 1

彼はxに時間依存性がないと仮定しただけですか？なぜ？

はい。フォームの積分の結果$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ 時間の関数です $t$; つまり、1つの実変数の関数（または、大まかに言えば、積分はに依存しない量に評価されます）$x$、のみ $t$）。したがって、分化すると$(1)$、次のようになります。 $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$ライプニッツ積分定理によって指示されているように（私はの振る舞いについていくつかの弱い仮定を仮定していることに注意してください$f$、しかし、ここでは信じられないほどの関心はありません）。これのささいなアプリケーション$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ 望ましい結果が得られます。

Answer 2

量子力学の2つの定式化は次のとおりです。

• シュレディンガー表現。時間発展は状態ベクトル、波動関数にエンコードされます-$\Psi(x,t)$、およびオブザーバブル（演算子）は時間的に一定です
• ハイゼンベルク表現。現在、演算子は時間とともに進化し、状態ベクトルは時間に依存せず、固定されています。

相互作用理論の場合、ハイブリッド相互作用表現があります。ここで、演算子は相互作用しないハミルトニアンで進化します$H_0$、および状態は相互作用部分を介して進化します $H_I$。

したがって、あなたの場合、作者はシュレディンガー表現を使用します。