エルミート演算子の演算子ノルム

Question

SadriHassaniで言及されている次の結果を証明したいと思います。-

最初の不等式、すなわち、 $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$演算子のノルムの定義から簡単です。逆の不等式について、著者は次の手順に言及しました。

上記の結果から、どうやって不等式が得られたのかわかりません。また、結果は$4\langle Hx|y\rangle $ 持っている必要があります $-i$ の代わりに $i$ 平等に。

Answer 1

与えられた選択肢で $x$ そして $y$、あなたはそれを持っています $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$、したがって、等式はに減少します $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ また、 $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$。次に、平行四辺形のアイデンティティを使用して、\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}