$ f $ で微分可能です $ (0,0). $
定義： $V\subseteq{\mathbb{R}^{m}}$ オープンセット、 $a\in V$ y $f\colon V\to\mathbb{R}^{n}$機能。私たちはそれを言うでしょう$f$ で微分可能です $a,$ 線形変換が存在する場合 $f'(a)\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$その結果、\ {式} F（+ H）を始める= F（）+ F '（）（H）+ R（H）、\ qquad \ lim_ {H \ RIGHTARROW 0} {\ dfrac {R（H ）} {\ lVert h \ rVert}} = 0。\ end {equation}
しましょう $ a \in \mathbb {R}$あります。関数を定義する$ f \colon \mathbb {R}^ {2} \to \mathbb {R} $ によって与えられた
\ begin {equation} f（x、y）= \ left \ {\ begin {matrix} \ dfrac {x \ sin ^ {2}（x）+ axy ^ {2}} {x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}}＆（x、y）\ neq（0,0）\\ 0＆（x、y）=（0,0）\ end {matrix} \ right。\ end {equation}
の値を見つける $ a $ そのため $ f $ によって微分可能です $ (0,0). $
私の試み：
私たちはそれを観察しました
\ begin {equation} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x}（0,0）= 0 = \ dfrac {\ partial f} {\ partial y}（0,0）。\ end {equation}
場合 $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},$ その後
\ begin {equation} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x}（x、y）= \ dfrac {\ sin ^ {2}（x）（2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2}）+ x \ sin（2x）（x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}）+ ay ^ {2}（2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2}）} {（x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}）^ {2}} \ end {equation}
\ begin {equation} \ dfrac {\ partial f} {\ partial y}（x、y）= \ dfrac {2axy（x ^ {2} -3y ^ {4}）-4xy \ sin ^ {2}（x ）（1 + 3y ^ {2}）} {（x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}）^ {2}} \ end {equation}
場合 $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,$ その後
\begin{align} 2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a(x^{2}-3y^{4})=2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{x^{2}-3y^{4}} \end{align}
\ begin {equation} f（x、y）= \ left \ {\ begin {matrix} x \ sin ^ {2}（x）＆（x、y）\ neq（0,0）\\ 0＆（x 、y）=（0,0）\ end {matrix} \ right。\ end {equation}
\ begin {equation} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x}（0,0）= 0 = \ dfrac {\ partial f} {\ partial y}（0,0）\ end {equation}
このことから、次のようになります $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ そして $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ によって継続している $(0,0)$ y $f$ によって微分可能です $(0,0).$
私の議論は正しいですか？どんな提案でも大歓迎です。
回答
私たちはそれを持っています
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^{2}}}{h} =\lim_{h\to 0}\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^3}=1$$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\dfrac{0}{2k^{2}+3k^4}}{k} =0$$
次に、定義上、それを確認する必要があります
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}}{h^{2}+2k^{2}+3k^{4}}-h}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to (0,0)} \dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
これは確かに真実です $a=2$
$$\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h(h^2+O(h^4))+2hk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=$$
$$=\dfrac{-3hk^4+O(h^5)}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}$$
次に、極座標を使用します。
やや異なるアプローチ：
微分可能であるためには、関数は連続であり、連続導関数を持っている（または本質的な特異点を持つ導関数を持っている）必要があります。継続性では、アプローチの方向に関係なく、ポイントにアプローチするときの制限が同じである必要があります。
線に沿って接近するとします $x=y=\epsilon$。次に、（$\frac{d}{da}\sin^2(a)=\sin(2a)$： $$g(\epsilon)=f(\epsilon,\epsilon) = \frac{\epsilon\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{3\epsilon+3\epsilon^3}=\frac{1}{3}\frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{\epsilon+\epsilon^3}$$ $$g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\frac{(\epsilon+\epsilon^3)(\sin(2\epsilon)+2a\epsilon)-(\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2)(1+3\epsilon^2)}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6}$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\sin(2\epsilon)+2\epsilon\cos(2\epsilon)+4a\epsilon+3\epsilon^2\sin(2\epsilon)+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-\sin(2\epsilon)-2a\epsilon-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-3\epsilon^2\sin(2\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\epsilon\cos(2\epsilon)+2a\epsilon+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\cos(2\epsilon)+2a+2\epsilon^2\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^2-6\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^3}{2+8\epsilon^2+6\epsilon^4} = \frac{1}{3} \frac{2+2a}{2} = \frac{1+a}{3}$$
線に沿って接近するとします $-x=y=\epsilon$。次に、次のようになります。$$h(\epsilon)=f(-\epsilon,\epsilon) = \frac{-\epsilon\sin^2(-\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{-\epsilon\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4}= -g(\epsilon)$$ $$h'(\epsilon)=-g'(\epsilon)$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}h'(\epsilon)=-\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=-\frac{1+a}{3}$$
両方向に導関数の限界が存在し、したがって、アプローチの方向は重要ではないため、限界が同じである必要があります。 $\frac{1+a}{3}=-\frac{1+a}{3}$、つまり $a=-1$。