Folland質問6.4ノルムの推定に関する問題

Dec 14 2020

質問は次のとおりです。

場合 $1\leq p<r\leq \infty$、 証明してください $L^p+L^r$ 規範のあるバナッハ空間です $\lVert f\rVert= \inf\{\lVert g\rVert_p+\lVert h\rVert_r\,|\, f=g+h\in L^p+L^r\}$、そしてそれを証明する $p<q<r$、包含マップ $L^q\to L^p+L^r$ 継続的です。

だから、私はなんとか証明することができました $\lVert \cdot\rVert$本当に標準であり、結果は与えられた標準のバナッハ空間になりますが、連続部分に問題があります。与えられた$f\in L^q$、私はセットを検討しました $A=\{x\in X\, | \, |f(x)|>1\}$、および関数 $f\cdot 1_A\in L^p$ そして $f\cdot 1_{A^c}\in L^r$(私はすでにこれらのインクルージョンを示しました)。私が問題を抱えているのは、基準を適切に推定することです。私はそれを見つけました($r<\infty$)。 \begin{align} \lVert f\rVert \leq \lVert f\cdot 1_A\rVert_p + \lVert f\cdot 1_{A^c}\rVert_r \leq \lVert f\cdot 1_A \rVert_q^{q/p} + \lVert f\cdot 1_{A^c} \rVert_q^{q/r} \end{align} ここから、フォームの上限を取得する方法がわかりません $C\lVert f\rVert_q$、一定の定数 $C$。私はこの答えを見たが、最後のいくつかの見積もりがどのように発生するのかわからないことに注意してください(特に、なぜ$|f\cdot 1_A|^p\leq |f\cdot 1_A|^q$ 意味する $\lVert f\cdot 1_A\rVert_p\leq \lVert f\cdot 1_A\rVert_q$、および同様に $r$期間)。どんな助けでも大歓迎です。

回答

2 supinf Dec 14 2020 at 01:29

あなたはすでにかなり遠いです!

〜oは線形写像の連続性を示すことを思い出してください、あなたはそれがで連続的であることを示す必要があるだけです $0$

あなたが見積もるなら $\lVert f\cdot 1_A \rVert_q^{q/p} + \lVert f\cdot 1_{A^c} \rVert_q^{q/r}$ 沿って $\lVert f \rVert_q^{q/p} + \lVert f\rVert_q^{q/r}$、それから私達は持っています $$ \| f \|_{L^p+L^r} \to 0 \quad\text{for}\; \|f\|\to0. $$ したがって、包含はで継続的です $0$ したがって、継続的です。