フーリエ変換の近似
フーリエ変換を仮定します $\hat{f}(k)$ （と $k \in \mathbb{R}^d$）が与えられ、位置空間の対応物に関する情報を取得する予定です。 $f(x)$。の逆フーリエ変換の分析計算時$\hat{f}(k)$ 不可能ですが、特定の地域に特化することで、有用な情報を抽出できる可能性があります。 $k$スペース; たとえば、統計物理学では、相関関数などの「巨視的」特性を調べることによって、$k\to 0$それらのフーリエ変換の限界。このようなプロセスは、フーリエ変換のテイラー級数を見るのと多少似ているように見えます。つまり、\ begin {equation} \ hat {f}（k）= \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {equation}この級数を切り捨てて、逆フーリエ変換を実行しようとすると、$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ 場合によっては、結果が次のように発散することがあります。 $k\to\infty$。ただし、多くの理論、特にフィールド理論では、$k$その理論の妥当性の範囲を決定します。このようなカットオフは、逆フーリエ変換の可能な発散を解決することがよくあります。
質問切り捨てられたテイラー級数の逆変換から得られる位置空間関数はありますか$\hat{f}_{\rm trunc}$、カットオフあり $\Lambda$、元の関数を近似します$f(x)$どういう意味ですか？そうでなければ、フーリエ変換からそのような近似形式を取得する体系的な方法はありますか？$\hat{f}(k)$？
回答
テイラー展開を切り捨てると $0$、あなたは長波長のモードに興味があると言っています。これらは多くの場合、長寿命のモードであるため、長い間、システムをほぼ説明します。精神的には、粗視化を行うようなものです。高速の微視的ダイナミクスを忘れて、巨視的情報のみを保持します。より厳密な意味では、$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$、したがって、フーリエ変換の近似が $L^2$ 位置空間の近似になるように感知します $f(x)$。