不定形の基本例 $1^\infty$
私はまだクラスで対数を見たことがない明るい中学生と数学を話している。(指数の逆数としてログの導入に成功しました。)彼女はこのビデオと不定形に興味をそそられます。どのように「$1^\infty$「は本当に」と同じです$0/0$"。
ここで、「」の例について説明します。$1^\infty$"。残念ながら、私が思いつくすべての例、およびインターネットで見つけたすべてのものは、それを使用しています$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ なので $t\to 0$、これは「よく知られた事実」か、ロピタルの定理の適用のいずれかです。どちらも不十分だと思います。
「」の重要な例はありますか$1^\infty$「不定形(つまり、 $1^t$ ために $t\to\infty$)それは、指数の逆関数としての対数の定義のみを使用して分析でき、微積分や事実なしで、帽子から引き出す必要がありますか?
回答
誰が古典的な例を忘れることができますか:
$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?
拡大すれば $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ 二項定理を使用して、項を対応する次の累乗と比較します。 $1/n$ のさまざまな値に対して $n$、この関数は次のように増加することがわかります $n$ 無制限に増加しますが、関数は収束級数によって制限されます
$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$
したがって、制限は存在することが保証されているため、次のように定義できます。 $e$、そこからルール $[\ln(1+x)]/x\to1$ なので $x\to 0$ 続きます。
なぜ修正しないのですか $k>0$ (例えば $k=2$)そして見てください $(k^{1/n})^n$?
それは直感的にかなり明確です $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ なので $n\to\infty$; 一方、明らかに$n\to\infty$ いつ $n\to\infty$。したがって、あなたはケースを持っています$1^\infty$ これは実際に収束します $k$ (そして収束するだけではありません $k$ただし、定数)であり、最初は任意に選択しました。
これで簡単に拡張できます $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ または $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$、に収束します $0$ そして $\infty$ (ある順序で、 $k\ne 1$)。
我々が求めて $f,\,g$ と $f\to1,\,g\to\infty$、と言う $x\to0$、 そのため $f^g$ 任意の制限を持つことができます $L\in[0,\,\infty]$またはなし。例:
- $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ ために $L>1$
- $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ ために $L\in(0,\,1)$
- $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ ために $L=1$
- $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ ために $L=0$
- $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ ために $L=\infty$
- $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ ために $\lim_{x\to0}f^g$ 未定義になります。
交換 $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ ショー $1^{-\infty}$ 同じように機能しますが、すべてが個別にリストしているわけではありません。